Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
приведенные оценки.
Отдельные ср (с ||ср|| = 1), для которых при соответственно подобранных а
и b выполняется
|JQcp - аср||=г и JJPcp - i<p||=7j, мы уже знаем из III. 4:
Tty 2кр
ТР,а,л = сРР.>,л^) = (х)/<е" h (?_а)+/г Щ'
h . Г ТП . f~h~ (
где мы из-за ?т] = -?- опять положили е= у -^4-, rj = у (у.
е.
f = y-j и где надо выбрать а = о и Ь = р. Речь идет теперь о том, чтобы
составить из этих срр_а ^ полную ортонормированную систему. Поскольку р-
это математическое ожидание оператора Q, а о - оператора Р, то хотелось
бы допустить, что р и о пробегают системы чисел независимо друг от друга,
и притом так, чтобы первая имела примерно плотность s, а вторая - у]. В
действительности оказывается
удобным вубрать единицы 2]Лг'?=гугЛ'[и2уги'7]=|/ у, так
41
МАКРОСКОПИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
299
чтобы было p = yrA'f(i, о=|//,-уМ (p., v = 0, ±1, ±2,.,.). Итак, функции
Фщ" = Т1/т. .Щ (ц. v = 0. ±1. ±2. ...)
Vb-t I1, yif 7. Т
должны будут играть роль <рл (ге= 1, 2, ...); то, что вместо одного
индекса у нас появились два -р. и 7, - конечно, несущественно.
Однако эти v пока еще не ортогональны. (Нормированными они являются, и
условия
II ОФц. , - II = S- I V - ]/ Y V V, V
= 'П
выполнены.) Если мы "ортогонализируем" (ср. И. 2, док. теоремы 8.) их
методом Шмидта (в какой-нибудь последовательности), то для
ортонормированной системы ф' v, которая тогда возникнет, можно будет без
труда доказать полноту и установить справедливость оценок
I ОД, v- Н^, v IС Се* ||РС-/ T<v||<c^
причем для С получится значение -60. Доказательство этих утверждений
потребовало бы довольно громоздких, но не требующих каких-либо новых
точек зрения, выкладок, которые мы обойдем. Множители С-60 не играют
большой роли, поскольку измеренная
в макроскопических (CGS) единицах величина щ = -^ оказывается
совершенно необычайной малости (-10~28l).
Итак, мы можем сказать теперь, подводя итоги, что допущение о
коммутативности всех макроскопических операторов мотивировано;
следовательно, в частности, это так и для введенных выше макроскопических
проекционных операторов Я.
Операторы Е отвечают всем вопросам @, на которые можно ответить с
макроскопической точки зрения, т. е. всем разбиениям на различные случаи,
относящиеся к исследуемой системе, которые могут быть проведены
макроскопически. Как мы видели, они все перестановочны; согласно 111.5,
вместе с ? к ним относится и 1-Е, далее, вместе с Я и F - также и
операторы EF, Я-}-Я- EF и Я - EF. Естественно допустить, что их
существует лишь конечное число: Я^ . .., Я". Введем на мгновение
обозначение Я(+) = Я и Я(-)=1-Я и рас-
/у \ /у \
смотрим все 2Л произведений Я} и ... Е\ (s^ $п = i 0- Любые
два различных из них обладают произведением нуль, так как если
Я^ ... Ял и Яр1^ ... Я^ - два таких произведения, у которых, например, sv
Ф tv, то в их произведение войдут множители Я^ и е\ т. е. Я^* = Я и я?~*
= 1- Я, произведение которых равно нулю.
300
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
[ГЛ. V
Каждое Еч является суммой нескольких таких произведений, именно
р p(sl) p(sv~l) . р(+^ . p(S4 + l) p(s п)
С] • • • I Ev ?v + I *^П
h \-v s,+\......¦s/<=±1
Если мы назовем те из этих произведений, которые отличны от
нуля, ЕI, ..., Ет (ясно, что т ^ 2я, но должно быть даже т^п - 1, так как
все они должны встретиться среди Е,, ..., Еп и не равны нулю), то будет
Е^ ф О, EpEv = 0 для р. ф ч и каждый Е есть сумма нескольких Еч. (Из
последнего следует также, что п = 2т.) Заметим, что никогда не может
случиться, что Ец-|- Ev = Ер, исключая ?^.= 0, Ev = Ep или Е^ = е'?, Еч =
0, так как иначе Е^ и Еч были бы суммами нескольких Ех, следовательно Ер-
суммой 2-операторов Е* (возможно, с повторениями). По теоремам 15. и 16.
из II. 4 все эти операторы были бы отличны друг от друга, поскольку их
^>2, и от ЕР- Но поэтому должны были бы равняться нулю их произведения с
Ер, следовательно и произведение их суммы, что противоречит тому, что эта
должна была быть равной Ер.
Итак, соответствующие операторам Е\ Ет свойства (?ь .... (?т-
это макроскопические свойства следующего рода: Ни одно из них не
абсурдно. Любые два взаимно исключают друг друга. Любое макроскопическое
свойство оказывается расщепимым на некоторые из них. Ни одно из них
нельзя дальнейшим расщеплением разложить
на два более точных макроскопических свойства. Итак, (?i............(?m
осуществляют самое глубокое макроскопическое различение случаев, которое
вообще может быть сделано; они макроскопически неразложимы.
В дальнейшем мы не будем требовать конечности их числа, но только
существования макроскопически неразложимых свойств @ь @2> • • •
Соответствующие проекционные операторы пусть будут Е], Ег, .... опять все
ф 0, любые два ортогональные и такие, что каждый макроскопический Е есть
сумма некоторых из них.
Поэтому и 1 должна быть суммой некоторых из них; не войди некоторый Ev в
их число, он был бы к ней, т. е. к 1, ортогонален, т. е. было бы EV = EV-
1=0, что невозможно. Поэтому Ei-j-E2-f--f- ... =1. Мы опустим теперь
