Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
положение и импульс) с полной подробностью, то для каждого момента после
диффузии можно было бы вычислить, расположена она в правой или в левой
половине, т. е. энтропия вообще бы не возросла. Только тогда, когда в
нашем распоряжении имеется одна лишь макроскопическая информация, что
первоначальный объем составлял у, в процессе диффузии действительно
происходит возрастание энтропии.
Итак, для классического наблюдателя, знающего все импульсы и координаты,
энтропия постоянна, а именно равна нулю, так как
202) Сцилард показал (ср. прим. 194) на стр. 273), что это "знание"
нельзя также и добыть дешевле, чем ценой компенсирующего увеличения
энтропии на х1п2: в общем случае и1п2 - это "термодинамическая цена"
знания, какой из двух альтернативных случаев осуществляется. Для любых
попыток провести описанный выше процесс в случае, когда неизвестно, в
какой половине сосуда находится молекула, можно доказать их
несостоятельность, хотя они и оперируют зачастую с весьма сложными
автоматическими механизмами
4)
МАКРОСКОПИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
295
больцманова "термодинамическая вероятность" (ср. выше, прим. 201) на стр.
289) равна тогда 1,-как раз как в нашей теории для состояний, U - Р[9],
которые ведь тоже отвечают наибольшей возможной степени знаний
наблюдателя относительно системы.
Изменения энтропии со временем касаются, следовательно, той ситуации,
когда наблюдатель знает не всё или может выяснить (измерить) не всё, что
принципиально измеримо. Его чувства как раз позволяют ему воспринимать
только так называемые макроскопические величины. Это разъяснение
изложенного в начале параграфа кажущегося противоречия налагает, однако,
на нас обязанность найти для квантовомеханических ансамблей точный аналог
классической макроскопической энтропии, т. е. энтропии, рассматриваемой с
точки зрения такого наблюдателя, который может мерить не все величины, но
лишь некоторые избранные, именно-макроскопические, величины, да и эти - в
зависимости от обстоятельств - только с ограниченной точностью.
В III. 3 мы узнали, что все измерения с ограниченной степенью точности
могут быть заменены абсолютно точными измерениями других величин,
являющихся функциями от них и обладающих чисто дискретными спектрами.
Если 91 - такая величина, R- ее оператор, а Х(1), Х(2), ...-отличные друг
от друга из числа ее собственных значений, то измерение 91 равносильно
ответу на вопросы: "Равно ли 91 значению Х(1)?", "Равно ли 91 значению
Х(2)?", ... Мы могли бы, конечно, сказать и непосредственно: если
величина <2> с оператором 5 должна быть. измерена с ограниченной
точностью, например надо
рассудить, в каком из интервалов cn_-l <i~kсп она лежит
(... <с_2<с_1<с0<с1<с2< ¦ ¦ ¦'< слоо или к оо при и->-|-оо или к -оо),
то речь идет об ответе на все вопросы:
"Лежит ли (r) в с"_1 < ^ ^ сл?", п = 0, ±1, ±2, . . .
Но таким вопросам соответствуют, согласно III. 5, проекционные операторы
Е, чьи величины (§: (принимающие только два значения О и 1) собственно и
подлежат измерению. В наших примерах величинами (§: будут функции Fn
(91), п= 1, 2 где
1 для Х = Х(л),
О в остальных случаях,
или же функции G" ($), п = 0, ±1, ±2 где
0"(Ь)
О в остальных случаях,
а операторами Е будут соответственно En(R) или Gn(S). Итак, вместо того
чтобы задавать макроскопически измеримые величины @ вместе с достижимой
точностью измерения, можно задать вопросы (5,
296
ОБШЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
[ГЛ. V
на которые могут ответить макроскопические измерения или же их
проекционные операторы Е (ср. III. 5). Как раз это является отличительным
признаком макроскопического наблюдателя - задание его ? (классически мы
характеризовали бы его, например, тем, что он в состоянии измерить в
каждом кубическом сантиметре занимаемого газом объема температуру и
давление - возможно с определенной ограниченной точностью, - но ничего
другого) 203).
В самой природе макроскопического измерения заключено, что все, измеримое
вообще, измеримо тотчас же, т. е. что все вопросы, на которые можно
ответить макроскопически, тотчас же находят свой ответ; это значит, что
все Е перестановочны друг с другом. Как раз потому ведь неодновременная
измеримость квантовомеханических величин и произвела сначала столь
парадоксальное впечатление, что это понятие чуждо макроскопическому
образу восприятия. Благодаря большому принципиальному значению этого
пункта будет уместно обсудить его несколько подробнее.
Представим себе яснее способ, которым две явно не измеримые одновременно
величины, например координата q и импульс р (ср. III. 4), измеряются
одновременно с ограниченной точностью. Пусть средними ошибками измерения
будут s и т) (согласно соотношению неопределенностей ет)~Л), обсуждение в
III. 4 показало, что при таких претензиях к точности одновременное
измерение в самом деле возможно, - измерение положения (q) проводится не
слишком коротковолновым светом, а измерение импульса (р)- не слишком
длинными цугами волн. Когда все приготовлено таким образом, то собственно
