Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
стоянии она равнялась -Nx ^ wn\nwn.
л=1
Поскольку оператор U обладает собственными функциями cpj, ср2, ... с
собственными значениями w2, ..., то UlnU будет обладать теми же
собственными функциями, но с собственными значениями Wjlnwv w2lnw2 и,
следовательно, Spur (Т/ In Т/) =
ОО
- 2 wn ln wn- Заметим, что wn^0, ^1, эначит те>л 1пте>л 0 и
л = 1
притом =0 лишь для •шл = 0,1,-что для wn - 0 надо брать значение wnlnwn =
0, видно из того что в нашем рассмотрении не нужно учитывать обращающихся
в нуль wn\ впрочем, соображения непрерывности приводят к тому же.
Итак, мы определили, что энтропия состоящего из N отдельных систем (/-
ансамбля составляет -Nx Spur ((/ In U). Сказанное ранее относительно
•шл1п'Шл показывает, что она всегда ^0 и для равенства нулю все wn должны
быть =0 или 1. Поскольку Spur(7=1, то при этом в точности одна wn = 1,
все остальные = 0, т. е. U = P[9). Итак, только U = P\4\, т. е. только
состояния имеют энтропию = 0, все остальные смеси имеют энтропии >0.
ВОПРОСЫ ОБРАТИМОСТИ И РАВНОВЕСИЯ
281
3. Вопросы обратимости и равновесия
Теперь мы можем заняться доказательством высказанного в V. 1 утверждения
о необратимости процесса измерения. Если, например, U - состояние, U =
P[Tj, то в результате измерения некоторой величины 91, оператор R которой
обладает собственными функциями ср^ <р2, .... оно переходит в ансамбль
со оо
?/'=2 <Рл) • Р[Чп]= 2 К?- Уп)\2Р[9п]'
Л =1 Л=1
и если U' - не состояние, то при этом происходит возрастание энтропии
(энтропия U была 0, а энтропия U' будет > 0), так что процесс необратим.
Но чтобы U' было состоянием, следовательно было ], где <р"- его
собственные функции, должно быть j (ср, ср") |2 = 0 для всех <рп,
исключая одну (для нее = 1), т. е. ср должна быть ортогональна ко всем
срл, пфп. Но тогда ср = сср_, причем I с | = 1, еле-
__ П
довательно Ящ = Я^] и U = U'. Итак, всякое измерение в состоянии
необратимо, исключая случай, когда собственная функция измеренной
величины (т. е. эта величина в данном состоянии) имеет точное значение,
когда измерение вообще не меняет состояния. Как мы видим, акаузальное
поведение однозначным образом связано поэтому и с определенными
сопутствующими термодинамическими явлениями.
Мы хотим обсудить теперь с полной общностью, когда процесс
ОО
/. U -> U' - 2 (Ufw fn) • Р[9п) повышает энтропию.
Ансамбль U обладает энтропией -Me Spur (U In U), и если w2, ... -его
собственные значения, а фр ф2, ... -собственные функции, то это равно
оо оо
- N* 2 Wnlnwn = - N* 2 Щп> Фя)1п(№ фл)-
Я=1 Я=1
Что до U', то он обладает собственными значениями (?/срр ср^, (U<р2,
ср2), следовательно его энтропия равна
оо
- Me 2 <№- ?л)1п (Мр". Тл)-Я=1
Поэтому энтропия ансамбля U =; энтропии U' в зависимости от того, будет
ли
со со
2 Щп> Фл) In Щ". Фл) = 2 №• <Рл) In №• <Рл)-
л=1 л=1
282
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
[ГЛ. V
Покажем сперва, что в *, во всяком случае, выполняется знак т. е. что
процесс U ->•?/' не уменьшает энтропии; хотя это и ясно термодинамически,
тем не менее для наших дальнейших целей будет важно обладать и чисто
математическим доказательством этого обстоятельства. Именно, мы будем
считать U, а вместе с ним и ф,, ф2, фиксированными, а систему cplt ср2,
... -пробегающей все возможные полные ортонормированные системы.
Мы можем сперва ограничиться из соображений непрерывности такими
системами ср,, ср2 в которых только конечное число функций срл отличны от
соответствующих функций ф". Итак, пусть, например, для п > М всегда <ря =
ф". Тогда функции ср" с п М будут линейными комбинациями функций с п М и
наоборот, т. е.
и М-мерная матрица {хтп} очевидно унитарна. Выполняется
(Utym> - и> как леГКО ВЫЧИСЛИТЬ,
М
Поскольку правая часть является непрерывной функцией М2 ограниченных
переменных хтп, то она имеет максимум и ({хтп} унитарна!) принимает его;
так как левая сторона является значением правой для
то остается показать, что названный максимум осуществляется как раз для
этой системы переменных хтп.
Итак, пусть х° (т, п= 1 М) - те значения переменных,
для которых осуществляется максимум. Если перемножить матрицу {хт я} с
УнитаРной матрицей
П-I
Ш9т> <Р,п)=2 (r), \хтп\2 (т = 1 М)
п-1
так что требуется доказать, что
1 для т = п, О для т ф п,
а, р,0, . О
3] ВОПРОСЫ ОБРАТИМОСТИ И РАВНОВЕСИЯ 283
то получится унитарная матрица [х'тп}> т. е. опять допустимая система
переменных хтп. Пусть, именно, a = "jAl-в4, [3 = ве (е вещественно, |ft|
= 1) и- е мало, так что в дальнейших вычислениях мы будем учитывать
только члены порядка 1, е, е2, а членами порядка е3,
е4, ... -пренебрегать. Тогда а 1 -и в новой матрице {х'тп} будет
тп тп
и, следовательно, далее
МММ
^n"-?e^n + (l-ie2) *0в; х' = л0 (т >- 3),
тп тп 4 ^ '
МММ
2I I2 ~ 2I *?Л I2 + 2 Re ("") • е +
л=1 Л =1 П -I
М
+ 2>"(-КР-нч,|,)-л
п=1 '
2 (r)л | I2 ~ 2 (r)л | *§" |2 - 2 Re (Ь°л*°") • в -
Л = 1 Л==1 Л=1 '
Л1
s""eKi!+KR-*
Л = I
2 I *1- I2 - 2 (r)"| *1Л I2-
, л тл л тл
П=1 1 П=1
Подставляя эти выражения в / (а:) == х 1п х, учитывая при этом, что
