Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
измерения. Самым простым, что можно было бы придумать, было бы тогда
измерение в ансамбле Р[?] некоторой величины М, оператор которой R имел
бы чисто дискретный спектр с одними лишь простыми собственными значениями
Xj, Х2, .... притом так, чтобы ф встретилась бы среди его собственных
функций фр ф2 например ^ - ф. Поскольку при таком измерении состояние ср
преобразуется ведь в смесь cjij, ф2, .. ., то возникает и состояние ф.
Тем не менее это нецелесообразно, поскольку ^ = ф возникает лишь с
вероятностью | (ср, ф) |2, в то время как доля 1 - | (ср, cJj) |2
переходит в другие состояния, и для ортогональных ср и ф эта доля даже
составляет целое. Несмотря на это, сходный прием приведет нас к цели:
путем последовательного выполнения большого
2]
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
271
числа различных измерений мы переведем Я|9) в такой ансамбль, который
сколь угодно мало отличается от Ядо. То, что все эти операции необратимы
(или по меньшей мере могут оказаться такими), будет, как мы уже замечали
выше, несущественно.
Мы будем считать ср и ф ортогональными, так как иначе мы могли бы выбрать
ортогональное к обоим х(11х11 = О и перейти сперва от ср к х> а затем от
х к ф. Пусть ? = 1, 2, ... будет числом, которым мы еще должны
распорядиться, и положим
ФМ = С05 + 0 = 0.1.......k).
Очевидно, что ф(0) = ср, ф(й) = ф и что всегда ||фМ|| = 1. Каждую из фм
(v=l, ..., k) мы дополним до полной ортонормированной системы фм, фг1. с
фм = фм. Пусть ЯМ будет оператором с чисто дискретным спектром и всеми
различными собственными значениями, например Xiv), .......... для
которого фм, ф^, .. . будут собствен-
ными функциями; соответствующей величиной пусть будет 91м, Заметим еще,
что
71 (м - 1) 7CV , 7t (v - 1) . 7CV / 7tV П (м --
- 1)
Л______ ' глс____ cin__1 / pin r>/-\o I_ . Л
'
= cos-cos 2k
. , п (v 1) . rcv /тем n (v - 1) \
sin 2Л sin 2Л = cosl2ft =
Теперь мы измерим в ансамбле с (7<0) = Я^(0) j = Я[9) величину 91(1)р
благодаря чему возникнет (/(1), затем в (7(1) - величину 91<2), благодаря
чему возникнет (/<2), ..., наконец, в - величину 9l(fc), благодаря
чему возникнет Что для достаточно большого k Uw будет сколь угодно близок
к ^>[ф№)] = ^>[ф]> можно пояснить следующими наглядными соображениями.
Когда мы измеряем 91м в ф(,_1), то в фм переходит доля |(ф<'1-1), фМ) |2
= ^cos ' Следовательно, при последовательных измерениях величин 91(1),
9?(2), .... 9l<fc) из ф<0) = ср через посредство ф(1), ф(2), ..., ф(й_1)
перейдет в ф = ф(й) по меньшей мере
/ 71 \2fe / 71 \2ft 1
доля lC0S_2^l ¦ А поскольку при я->уэ lcos"2? I то в03"
никнет почти одно лишь ф, если k достаточно велико. Строгое
доказательство проходит следующим образом: Поскольку процесс /. не
272 ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ [ГЛ. V
меняет шпура, то, в силу Spur ?/<0) = Spur = 1, будет Spur ?/(,) = =
Spurt/(2) = ... = SpurU(i) = 1. С другой стороны,
0/w/. /) = 2(t/(v-1W. ДО^]//)-= S(t/(v-,V;). ^)l№. /)|2,
n
следовательно, для v=l k-1 и / = ^iv+,) = i]/v+1) или же,
соответственно, для v = k и / = i]/** = = ф будет
(t/(V+1). f+,))>(t/(v-,4(v>. fOKf'. ф(,+,))Г =
= (cos JL)S. f>);
= Ф(А))-
Вместе с
""')= =("*&)'
это дает
(^(;V ф) > (cos •
Поскольку Spur = 1 и ^cos * -> 1 при /г -*co, мы можем
применить результат, найденный в 11.11: Uk сходятся к P№]. Наша цель
достигнута.
Теперь мы должны обсудить вопрос о том, в каких пределах можем мы
опираться на такое вспомогательное средство, как "мысленные эксперименты"
феноменологической термодинамики, также и при рассмотрении
квантовомеханических систем; именно, мы имеем в виду вопрос о так
называемых полупроницаемых стенках.
В феноменологической термодинамике имеет место теорема: Если / и// -два
различных состояния одной и той же системы S, то допустимо принять
существование такой стенки, которая для / полностью проницаема, а для //
- совершенно непроницаема193); это, так сказать, термодинамические
определения различия, следовательно и совпадения, двух состояний. В какой
мере допустимо подобное предположение в квантовой механике?
Докажем сперва, что если epj, ер2 (Jjj, ф2, ... -ортонормиро-
ванная система, то существует полупроницаемая стенка, беспрепятственно
пропускающая систему S в каждом из состояний tpj, ер2, ... и отражающая
ее в неизменном виде в каждом из состояний ф1( ф2, ...
183) Ср., например, прим. 184) на стр. 266.
2]
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
273
Напротив, системы, находящиеся в других состояниях, могут при соударении
со стенкой даже и измениться.
Систему cpj, ср2 <]>j, ф3, ... можно принять за полную, так как
в противном случае ее можно было бы завершить в полную добавлением
дальнейших функций Х2 • • • • которые можно было бы причислить, например,
к ср,, ср2, ... Выберем теперь оператор R с чисто дискретным спектром и
лишь простыми собственными значениями
Xj, Х2, ..., (Aj, р2 собственными функциями которого могли бы
быть cpj, ср2 фт, ф2, ..., и пусть при этом будут все Х" < О,
а все > 0. Пусть к оператору R относится величина 91. Прорежем в стенке
