Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 114

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 145 >> Следующая

каждый оператор Р в АРА~\ то вообще F (Л/М_1) = Л/7 (Р) А~1. Поэтому Ut\u
Ut = A-U In U • Л-1. Отсюда Spur (Ut In Ut) = Spur (U In U), т. e. наша
величина - Nx Spur (U In U) сохраняется при 2. постоянной. Что происходит
с ней при 1., мы
2(r)°) Мы, естественно, могли бы опустить здесь множитель Nx и
рассматривать просто - Spur (U In U) или же, чтобы сохранить
пропорциональность числу влементов N, величину - N Spur (U In U).
л ВОПРОСЫ ОБРАТИМОСТИ И РАВНОВЕСИЯ 287
только что (и притом без ссылок на второе начало) выяснили: если U при
этом меняется (т. е. U Ф U'), то она возрастает, при неизменном же U (т.
е. при U = U' или же при <plt ср2 являющихся
собственными функциями U, или же при коммутирующих U и R) она,
естественно, тоже остается неизменной. Итак, при воздействии,
составленном из многих процессов 1. и 2. (в произвольных числе и
порядке), -Nr Spur (U In U) остается, следовательно, неизменной, если
каждый из процессов 1. недействен (т. е. не совершает каких-либо
изменений), а во всех остальных случаях - возрастает. Поэтому, если
рассматриваются только воздействия 1. и 2., то каждый из процессов 1.,
который вообще что-либо меняет, необратим.
Существуют, правда, и более простые выражения, чем-Spur(?/ In U), которые
не убывают при процессах 1. и остаются постоянными при 2., например,
наибольшее собственное значение оператора U. В самом деле, при 2. оно,
как и все собственные значения U, не меняется, при 1. же собственные
значения wv w2, ... оператора U переходят
СО со
в собственные значения 2 wn\x\n\l> 2 wn\x2n\2' ••• оператора U'
Я=1 Я=1
(ср. рассмотрение этого параграфа), и, поскольку из-за унитарности
со со
матрицы {хтп} будет выполняться 2 |Jcin|2=l* 2 1а:2п|2=1* ••••
П=1 Л=1
то все эти числа ^ наибольшего wn ^наибольшее wn существует,
СО
поскольку все wn^>0, и из-за 2'а'л=1 должно быть "; ->0).
п=1 /
Поскольку безусловно можно изменить U таким образом, чтобы
СО
величина - Spur (U In U) = -2'а'л1п'а'л осталась бы инвариантной,
п = \
а наибольшее собственное значение wn уменьшилось бы, то видно,
что существуют переходы, возможные с точки зрения
феноменологи-
ческой термодинамики,-которые, следовательно, действительно можно
провести путем наших газовых процессов, но которые никогда не могли бы
произойти лишь через посредство последовательного применения /. и 2.. Это
показывает, что введения газовых методов нельзя избежать.
Вместо-Spur (U In U) мы могли бы, конечно, рассматривать Spur(/='({7))
для какой-либо подходящей F (х). Что последнее выражение будет
увеличиваться при 1. для U ф U' (для U = U', равно как и при 2, , оно,
естественно, останется инвариантным), можно доказать точно так же, как мы
делали для F(x) = - лг 1 п лг, если только для функции F (х) будут
выполняться те свойства, которые мы единственно использовали выше;
именно, что F" {х) <. О и что
288
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИИ
[ГЛ. V
F' (х) монотонно убывает (последнее, впрочем, следует из первого). Итак,
для нашего нетермодинамического рассмотрения необратимости мы можем
употребить любой Spur (Z7 (?/)), будь только F (х) выпуклая кверху
функция, т. е. выполняйся F" (х) 0 (в интервале
поскольку в нем лежат все собственные значения U). В заключение следовало
бы еще показать, что и смешивая два ансамбля U и V (например, в
соотношении а:(3, а > 0, (3 > О, а-)-рз=1) мы не придем к уменьшению
энтропии, т. е. что
- Spur ((аU + рИ) In (ail + рИ)) > - a Spur (U In ?/)-р Spur (V In V).
И это утверждение остается справедливым для всякой выпуклой функции F (х)
на месте -х 1п х; доказательство мы предоставим читателю.
Займемся теперь розыском стационарно равновесной смеси, т. е. смеси
максимальной энтропии при заданной энергии. Последнее надо, конечно,
понимать в том смысле, что предписано математическое ожидание энергии, -
только такое понимание будет соответствовать идее цитированных в прим.
184) (стр. 266) методов термодинамического исследования статистических
ансамблей. Таким образом, допустимыми будут лишь те смеси, для чьих U
выполняется Spur (/=1 и Spur(?/H) = E, где Н - оператор энергии, а Е-ее
предписанное математическое ожидание. При этих дополнительных условиях
надо сделать -Nv. Spur (U In (J) максимальной. Сделаем еще то упрощающее
предположение, что Н обладает чисто дискретным спектром, именно,
собственными значениями W',, W2, ... и собственными функциями ср,, ср2,
... (среди них могут быть и многократные).
Пусть 91 - некоторая величина, чей оператор R обладает теми же
собственными функциями ср,, ср2, ..., но всеми различными собственными
значениями. Измерение 91 преобразует U согласно 2. в U' =
ОО
== 2 {Рл)^\<р ]> ПРИ этом -N* Spur (U In (J) возрастает, a Spur U
п= 1 1
и Spur(?/H) не изменяются - последнее из-за того, что ср"- это
собственные функции Н и, следовательно, (Нсрт, <р") для тфп обращаются в
нуль:
ОО
Spur (?/'Н) = Д <Р") Spur(Pl?<|]Hj*
ОО оо
= 2 <рл) (Н"р". "ря) = 2 (^?т> "Рл) (Н"р". <pm) - Spur (t/H);
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed