Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
п=1 т, п~1
это должно выполняться и из-за коммутативности R и Н (т. е. из-за
одновременной измеримости 91 и энергии). Поэтому искомый максимум будет
таким же, как если бы мы ограничились операторами U', т. е.
статистическими операторами с собственными функциями ср,, ср2............
и будет достигаться как раз на этих функциях.
3] ВОПРОСЫ ОБРАТИМОСТИ И РАВНОВЕСИЯ 289
00
Итак, пусть ?/=2 wnP\t ъ и так как все операторы U, UН
л=1 ^
и U In U обладают собственными функциями срл, но собственными значениями
wn, Wnwn и wn In wn соответственно, то речь идет о том,
ОО
чтобы достичь максимума для -wn\nwn при дополнительных
л= 1
00 00
условиях 2 'чоп=\ и 2 ^А = Е. Но это в точности та же за-
Л=1 Л=1
дача, что и встающая в соответствующей проблеме равновесия в обычной
теории газов 201), и поэтому она решается так же. По известным правилам
нахождения экстремумов, для максимальной системы чисел wv w2, ... должно
выполняться
2 2 *4 + ^(2 ^АГ0'
\Я1=1 / \Я1=1 / \Я1=1 /
где а и р - подходящие постоянные и tt-\, 2, ... Это значит, что
(Inw"-f- I)-f- a -f- §W п = 0, wn = e~1~a~^Wn = ae~?Wn,
00
где вместо а введена постоянная а = е~1~а. Из 2 wn - 1 следует, что 1
д -------------- и ПОЭТОМУ
2
л= 1
? п
w _-------------
л со
т=1
оо
а из-за 2 wn(tm)n - Е должно выполняться
2 Wne-mn
Е,
2
е
п
л= 1
что фиксирует, р. Если ввести, как обычно, "сумму состояний"
00
Z(P)= 2 ""^n^Spur (e-?H)
я = 1
201) Ср. М. Plank, Theorle der Warmestrahlung, Leipzig, 1913. 19 И.
Нейман
290 ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ [ГЛ. V
(ср. сюда и далее прим. 197) на стр. 277), то будет
СО
Z'{$) = -'2iWne-mn = Spur(He-pH).
Л=1
и следовательно, условие для [3 будет гласить
Z'(P)
2(Р)
Е.
_ Q IVf Я W
Мы допустили здесь еще, что 2j е п и 2* Wne~' " сходятся
п~\ Л=1
для всех р > 0, т. е. что для п->со значения W п-> со, и притом
W )
достаточно быстро. Например, хватит требования -> со. ) Для самого U
возникает следующее выражение:
U = У ае-^пр = ав-'н = = .
HnJ Spur(<rPH) z(p)
л=1 к
Итак, свойства равновесного ансамбля U, которые фиксируются заданием
значения Е или р, т. е. зависят, как то и должно было быть, от одного
параметра, можно определить с помощью методов, обычных в кинетической
теории газов.
Энтропия нашего ансамбля будет равна
/.-рн -рн
S = - Me Spur (U In U) = - Ny. Spur (ддЭ)" *п ~Z$j = -^ySpur(e-PH (- рН -
InZ(Р))) =
= ш Spur (Не-рн)+ ln-Zz(tfr' sPur
= N%[~^W)I + lnZ(r)]-
а полная энергия
NE = - N
PZ'(P)
V А I - ¦
z'№
2(Р)
(эту полную энергию, а не саму Е надо ставить в параллель к S). Тем самым
U, S и NЕ выражены через р. Вместо того чтобы выражать р через Е, будет
практичнее найти температуру Т равновесной смеси и свести все к ней. Это
делается так: Приведем нашу равновесную смесь в соприкосновение с
тепловым резервуаром температуры Т', чтобы она могла перенять от него
энергию N dE, при этом (по смыслу обоих начал) суммарная энергия не
должна измениться,
S] ВОПРОСЫ ОБРАТИМОСТИ И РАВНОВЕСИЯ 291
а энтропия-уменьшиться. Тепловой резервуар теряет при этом энер-" NdE
гию NdЕ, поэтому его энтропия увеличивается на jr~ < и в то же
время должно быть
dS- NdE
С другой стороны, конечно, NdЕ§0, судя по тому Т'^Т, поскольку более
холодные тела получают энергию от более теплых; поэтому Т' Щ Т означает,
что
d S 1 2=0
т. е. что
J/ !
NdE V * N dE
d S dS_
d?
1
Поэтому
v*5 (ЕШ (? (P) у
T_ rfp _ i U(P) j i Utf)) _
*-"(-§#)'
т. e.
Р==:ТГ'
Тем самым все величины U, S и NЕ представлены как функции температуры.
Аналогия полученных выше выражений для энтропии, равновесного ансамбля и
т. п., соответствующим результатам термодинамической теории,
основывающейся на классической механике, сразу бросается в глаза. Прежде
всего, энтропия - N* Spur (С/ In U). Смесь
ОО
U - 2 wnP[vn\ - эт0 смесь ансамблей ?*[?,], ••• в соотноше-
ниях w1: w2: ... , т. е. Nwx систем <р,. Nw2 систем <р2, ... Больц-манову
энтропию этого ансамбля можно получить с помощью "термо-
динамической вероятности" (дг^, ); (дг^, );--' она будет равна ее
х-кратному логарифму (прим. 201) на стр. 289). Поскольку N велико, то мы
вправе приблизить факториал формулой Стирлинга г----------
х\^у 2кхе~ххх; тогда х In (дг^,); (йт )!---переходит в своей сущест-
ОО
венной части в -Nx ^ wn\nw", а это как раз и есть -N* Spur (СУ In СУ).
п=1
19*
292 ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ [ГЛ. V
_ PL
Далее, для равновесного ансамбля у нас было U = е хТ ^мы опускаем здесь
численный множитель эт0 Равно
Ш
СО w п
2 е lT Р[9"]' т> е> представляет собой смесь состояний
Р\9.1, Р\ ........ т. е. смесь стационарных состояний с энергиями
w, w2
Wv W2, ... и с (относительными) весами е хТ : е хТ : . . . Если
какое-либо собственное значение энергии многократно, например
Wni= ... =Wn^ = W, то смесь Р[?я] + + Р[9Я] войДет
w v
с весом е~ГГ. т. е. правильно нормированный ансамбль
Ж
v(P[9"j4- ... 4-P[9"j) (СР- начало IV. 3) -с весом ve_xT . Но
как раз так и определяется классический "канонический" ансамбль (если
отвлечься от появления специфически квантовомеханического
