Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
[Sp .... SN) и [Si, .... S^]) находится по определению путем обра-
18S) Именно так описывает, как известно, кинетическая теория газов
тот процесс, в котором стенки передают свою температуру заключенному в
них газу. Ср. выше, прим. 184), 186).
2]
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
269
тимош преобразования первого из них во второй189), а это удается проще
всего выполнить обходным путем через U- или соответственно К-газ. Именно,
мы утверждаем: разность энтропий U- и И-ансамблей в точности та же, что и
разность энтропий U- и К-газов, если оба последние рассматриваются при
одной и той же температуре Т, которая в остальном может быть
произвольной. Если Т приближается к нулю, то это утверждение, очевидно,
справедливо с любой степенью точности, ибо разница между ^/-ансамблем и
?/-газом исчезает при температуре 0, поскольку ящики К\ KN последнего
не обладают тогда никаким собственным движением, а присутствие
покоящихся ящиков К\ KN,K термодинамически несущественно
(аналогично для V). Таким образом, мы достигнем цели, если покажем, что
для некоторого заданного изменения температуры Т энтропия ?/-газа
меняется на столько же, на сколько энтропия К-газа. Изменение энтропии
некоторого одного газа, когда он нагревается от температуры Т] до
температуры Т2, зависит только от его теплового уравнения, точнее, от его
теплоемкостей190), -при этом, конечно, нельзя допустить идеальности газа,
так как, как раз в нашем случае, Т, должно быть выбрано вблизи нуля191).
Напротив, оба газа (U и V) гарантированно имеют одно и то же уравнение
состояния и одинаковые теплоемкости, -с точки зрения кинетической теории
газов
ящики К\ KN доминируют подавляющим образом и совершенно
маскируют заключенные в них системы S,, ..., SN или Si S^.
Итак, при рассматриваемом процессе нагревания различие между U и К не
сказывается и, как и утверждалось, обе разности энтропий совпадают.
Поэтому в дальнейшем мы будем сравнивать друг с другом только U- и К-
газы, и при этом выберем температуру Т столь большой, что их можно было
бы рассматривать как идеальные192).
189) Если при этом преобразовании используются количества тепла Q,, ...,
Q; при соответствующих температурах Ть ..., Т,-, то разность
19°) Если с(Т) - теплоемкость нашего количества газа при температуре Т,
то в интервале Т, Т-}- dT он принимает количество тепла c(T)<iT.
рованно нарушается. Ср., например, прим.6) на стр. 13. _
192) Для этого требуется также, чтобы объем V ящика К был велик
сравнительно с суммарным объемом всех •••. KN и, далее, чтобы
"приходящаяся на одну степень свободы" энергия ?Т (k - постоянная
Больцмана)
Л2
была бы велика сравнительно с гг- ; здесь h - постоянная Планка, а р. -
рТ"/*
масса отдельной молекулы; построенная величина имеет размерность энергии.
Ср. Е. Fermi, Zs. f. Phys. 36 (1926).
энтропий составит---}- ... Ср. выше, прим.184) на стр. 266.
• I м
Т2
Согласно 186) разность энтропий составит тогда
т,
191) Для идеального газа c(T) = const; для очень малых Т это гаранта-
270
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
[ГЛ V
Тем самым их газокинетическое поведение станет полностью ясным, и мы
сможем обратиться к собственно нашей задаче - обратимо перевести U-газ в
V-газ. При этом нам придется, в отличие от уже рассмотренных процессов,
затронуть и находящиеся внутри
К\ KN системы Sp .... SN, т. е. придется "открыть" наши
ящики К\ KN-
Покажем прежде всего, что все состояния U = Р[т1 обладают одной и той же
энтропией, т. е. что Р^-ансамбль удается обратимо перевести в /^-ансамбль
без затраты или получения тепловой энергии (механическую энергию
придется, естественно, затратить или выиграть, если только средние
значения энергии в P[f] и в различны), ср. прим.185) на стр. 267.
Действительно, для этого нам вовсе не понадобится привлекать только что
рассматривавшиеся газы - желательное переведение удается выполнить и при
температуре 0, т. е. с самими ансамблями. Следует также подчеркнуть, что
как только это будет доказано, то мы сможем (и действительно так сделаем)
пронормировать энтропии 77-ансамблей таким образом, что все состояния
будут обладать энтропией 0.
Впрочем, намеченное выше преобразование Я[?] в не обязано даже быть
обратимым, поскольку не будь оно таким, то разность энтропий должна была
бы быть выражения, приведенного выше, в прим. 189), следовательно ^>0;
если мы переменим теперь Р[?| и Р[ф], то точно так же получим, что оно
должно быть ^ 0; поэтому оно равно 0.
Простейшим способом было бы привлечь сюда зависящее от времени
дифференциальное уравнение Шредингера, т. е. наш процесс 2., для чего
следовало бы найти некоторый оператор энергии Н и чис-
--/¦ н
ленное значение t такие, чтобы унитарный оператор е " переводил бы ср в
ф. Тогда за t секунд Р[?] сам по себе перешел бы в Р[ф], процесс был бы
даже обратимым и о тепле не было бы и речи (ср. V. 1). Мы предпочтем,
однако, уклониться от каких-либо допущений о возможных формах оператора
энергии Н и будем применять только процесс 1., т. е. воздействия типа
