Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
6 = ^, то получатся формулы текста.
278 ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЙ [ГЛ. V
Легко заметить, однако, что левая часть здесь при а, изменяющемся от 0 до
1, монотонно возрастает198), именно от 0 до 31n-i;
О
поэтому должно быть а = 0 (для а Ф 0 процесс, обратный описанному,
уменьшал бы, вопреки второму началу, энтропию!). Тем самым утверждение
(ср, ф) = 0 доказано.
После этих предварительных рассуждений мы подошли к тому, чтобы
определить энтропию некоторого <7-газа из N молекул
198) Так как (х In х)' = In х -f-1, следовательно
. j (," i+z+,) - !(," !=z +,) = i ",i±i.
то производной нашего выражения будет
" 1 . 3 + У 1 + 8а2 1 8а 1 1+а
- 3 • - In- _ - .------, +4.- In---="=
2 3 - 1 -j- 8а2 3 1 + 8ot2 2 1-a
7,-i+" , i-l+TJ+glT
\ 1 - a Y1 + 8a2 3 - У 1 -f- 8a2 / Утверждение, что она > 0, означало бы,
что
t+a 2a 3 + fT+W
1_а^^Г+8^ 3_17Т+8^'
т. е. что
_LinJL=hfL> I " =
2a 1 - a 3 2Р 1 -р ' Р 3
8 2
Мы докажем последнее неравенство даже с -д- на месте ¦ Тогда, в силу
g
1 - р2 = g- (1 -а2) и a < р (второе следует из первого из-за a < 1),
неравенство будет утверждать, что
1^1,п *±±>1-г1аШ.
2а 1- a ^ 2Р 1 -Р •
Оно будет гарантированно выполняться, если мы выясним, что
I-*2 . \+х
-о-----'пд-1-'
2х \-х
будет монотонно убывать в 0 < х < 1, что можно, например, видеть из
разложения в ряд
\ - х2, 1 + л:
In-1-
2х
^-(l-^)(l + T + T1+-) =
21
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
279
в объеме 7° и при температуре Т, точнее присущий ему избыток энтропии
сравнительно с Я[Т]-газом при тех же условиях. Та же величина будет
тогда, согласно нашим прежним замечаниям и в рамках избранной выше
нормировки, также и энтропией ^/-ансамбля из N отдельных систем. Spurt/
мы будем, как уже говорилось выше, считать равным 1.
В таком случае U обладает, как мы знаем, чисто дискретным
спектром "",, w2, ... с 0, w2'^-0.......wl-\-w2-\- ... = 1.
Соответствующими собственными функциями пусть будут ср,, ср2, •••'•
оо
тогда U - 1 (ср. IV. 3). Тем
л=1 1 п'
смесью Р[Ъ]-, .. .-газов из 'И"1Л/1,
w2N2, . .. молекул соответственно, заключенных все в один и тот же объем
7°.
Пусть Т и У опять таковы, что все эти газы идеальны, а К обладает
прямоугольным сечением. Чтобы разделить
ср^, ср2-, ...-молекулы друг от друга, предпримем следующие обратимые
воздействия (рис. 4). Пристроим к К
(23452) второй, такого же размера, прямоугольный ящик К' (12561) и
заменим общую стенку 25 двумя тесно прилегающими стенками, одна из
которых (25) пусть будет неподвижной и полупроницаемой, именно
проницаемой для ср, и отражающей для ср2, ср3 а вторая (ЬЬ) - подвижной,
но обычной, совершенно непроницаемой, стенкой. Далее, вдвинем в положение
dd, тесно прилегающее к 34, еще одну полупроницаемую стенку, на этот раз
проницаемую для ср2, ср3 но отражающую ср,. После этого мы сдвинем
ЬЬ и dd, сохраняя их относительное расстояние неизменным, до положений аа
и сс (т. е. вплотную к 16 или к 25). Эти действия совсем не затронут ср2-
, ср3-, ...-молекул; молекулы же ср,, напротив, будут вынуждены все время
оставаться между подвижными стенками ЬЬ и dd\ поскольку расстояние между
ними постоянно, то нам не понадобится затрачивать работы (против давления
газа), и потому никаких тепловых процессов не произойдет. В заключение мы
заменим стенки 25 и сс неподвижной, совершенно непроницаемой стенкой 25 и
удалим аа, в результате чего будут снова созданы ящики К и К'-Лишь все
сргмолекулы будут теперь находиться в /С, т. е. мы "отцедили" их
обратимым образом без какой-либо затраты работы, передачи тепла или
изменения температуры из К в такой же ящик 1C 199).
195) Ср. в связи с этим, характерным для феноменологической
термодинамики искусственным трюком, например, прим.184) на стр. 266.
самым наш U-газ является
Г г 3
Рис. 4.
280
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
[ГЛ. V
Точно так же мы "отцедим" <р2-, <р3-, ...-молекулы в одинаковые ящики К",
К"', ••• и придем, наконец, к Я^-, ...-газам,
состоящим из w^N, w2N, ... молекул, каждый в объеме V. Теперь мы сожмем
их изотермически до объемов ... соответ-
ственно, для чего нам придется подвести из большого резервуара
(температуры Т, чтобы процесс был обратимым) количества тепла w^Nx-T In
w2Nx-T In w2, ... (все они < 01), так как механические работы сжатия
отдельных газов как раз равны этим величинам с обратным знаком (ср.
прим.ш) на стр. 269). Итак, увеличение энтропии
оо
при этих процессах составит 2 wn. Наконец, переведем в за-
1
ключение все Я^р, Я^-, ¦ • .-газы в один Я^-газ (ср - произвольное
состояние). Итак, мы получили теперь сплошь Я^-газы, состоящие из w^N,
w2N, ... молекул и заключенные в объемы ...
Поскольку все они идентичны и обладают одинаковой плотностью (N : 7^), то
их можно смешать, не нарушая обратимости, и у нас
I XI 4
возникнет один Я^-газ из N молекул в объеме Т I из-за wn = 1 )•
' П-1
Тем самым желательный обратимый переход выполнен. Энтропия
ОО
при этом увеличилась на Nx 2 wn 'n wn> и поскольку в конечном
л*1
состоянии она равна (по нашей нормировке) 0, то в начальном со-
