Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
A?m (q) 5" (г) = (А<Рт (?) ) 5Л (') = 2 (?) 5л (л),
т7 = 1
Т. е. что
/ f 1 для п = я'Л
*mnlm'n'=a.mlm'bnln'- \п1п' == \ О ДЛЯ П ф П,'.)
Аналогично сопоставление Л->• А устанавливает, что атп/т'п' =
== (r)л/л'^ m/m'•
210) Для /. это ясно, для //. - тоже, пока рассматриваются только
полиномы. Для произвольных функций это следует из того обстоятельства,
что взаимосвязь разложения единицы и какого-либо эрмитова оператора не
нарушается при переходе А -" А.
2П) Из-за большого числа разнообразных индексов мы прибегнем для матриц к
такому обозначению, несколько отличному от применявшегося.
2)
СОСТАВНЫЕ СИСТЕМЫ
311
Статистический ансамбль в /-{-II характеризуется его статистическим
оператором U или соответствующей последнему матрицей {отп/1Я'"']. Этот
оператор определяет статистические свойства всех величин в / -|- //,
следовательно, в частности, и статистические свойства величин в /. Таким
образом, этому ансамблю отвечает и статистический ансамбль в одной лишь
системе /: в самом деле, наблюдатель, могущий учитывать существование
только /, но не //, воспринял бы ансамбль, относящийся к системам /-{-II,
как относящийся к системе I. Что же будет теперь статистическим
оператором U или его матрицей {um/m'b относящимся к этому /-ансамблю?
Определим его из следующих соображений, /-величина с матрицей {am/m')
будет обладать, как (/-|-//)-величина, матрицей [sLmim'%nin'}<
следовательно, на основе вычислений в I будет иметь среднее значение
\Хт(т'&тг
т, т' = 1
в то время как вычисления в (/ -|- //) приведут к
90 со
S ^mnlm'п'&т'it$n'jti^Ej (r)mn!mrn&mf fm == m,n,m',n'*z 1 т,т',л = 1
оо / со \
=== 2
т, т' ~ 1 \ п = 1 /
Чтобы эти два выражения совпали, должно быть
со
Um/m' ==
я " 1
Совершенно аналогичным образом определяет наш (/+//)-ансамбль в случае,
когда учитывается только II, а I игнорируется, //-ансамбль со
статистическим оператором U и соответствующей ему матрицей "л/я'-
Совершенно так же тогда получается, что
СО
ип[п' = Дч Omnjmn'
m = 1
Итак, мы вывели правила сопоставления и для статистических операторов U,
U и U систем /, II и / -|- //, однако эти правила существенно отличаются
от тех правил сопоставления, которые имели МёСто для операторов А. И и А
физических величин.
Надо еще отметить, что выбранное сопоставление операторов U, U и II
зависит от выбора полных ортонормированных систем срm{q) й &"(л) только
кажущимся образом, поскольку оно было выведено ив инвариантного условия
(которому можно удовлетворить только
312
ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
таким сопоставлением) - совпадения средних значений операторов А и А или
Л и Д.
Оператор U выражает собой статистику в системе /+//, операторы U или U -
статистику, ограниченную системами / или II. Возникает вопрос, определяют
ли U и U оператор U однозначно или нет? В общем случае следует ожидать
отрицательного ответа, поскольку при знании только операторов U и U, т.
е. лишь свойств разделенных систем / и II, у нас выпадают все
"зависимости вероятностей", могущие существовать между обеими системами.
Если, однако, как состояние I, так и состояние II известны точно, то
"зависимости вероятностей" не играют роли и /+// узнается точно. За этими
качественными соображениями должно, конечно, последовать точное
математическое рассмотрение, к которому мы сейчас приступим.
Задача состоит в том, чтобы для двух заданных дефинитных матриц {и т/т'}
и {unjn<) построить третью дефинитную матрицу {"лл/mV} такую, что
(
2 Umnim'n - Um/m' * 2 уmnjmn' - Ид/я'*
п-1 т=1
оо оо
Из 2 Um/m = 1. 2 anfn = 1 следует тогда автоматически, что
т = 1 л= 1
2 = т. е. правильная нормировка сохраняется. ) Разре-
тп-1 /
шима задача всегда; так, например, итп/т'П' = ит/т'ил/л' всегда будет
решением (легко убедиться, что эта матрица дефинитна); вопрос состоит в
том, когда это решение будет единственным.
Мы покажем, что это выполняется тогда и только тогда, когда, по крайней
мере, одна из двух матриц {ит/т'} и {ип/"'} будет состоянием. Докажем
сперва необходимость этого условия, т. е. существование многих решений в
случае, когда обе матрицы соответствуют смесям. Действительно, тогда (ср.
IV. 2)
Um/m' " (r)Vm/m' 3Wm m'> Unln' == 7(r)я/я' ^(r)л/л'
(матрицы Vm/m' и Wm/m' дефинитны и отличаются не только постоянным
множителем, то же для vnin< и wn/n'\'
СО СО СО СО
2 Vm/m = 2 Wm/m = 2 'vnln== 2'(r)л/л^
т-1 т=1 л=1 л=1
а, р, 7, 5 > 0; а -j- р = 1; -у -J- S = 1), и легко проверить
вычислением, что каждая матрица
^тл/т'л' == 1с\/т/т',^л/л' I PWm/т'^л/л' I ^Ут/т'^л/л' т/т'1(r)л/л'
С
тг -J- а = а; p-f-x = f3; it-|-p = f; o-f-x -В; it, р, о, х >• О
2]
СОСТАВНЫЕ СИСТЕМЫ
313
будет решением. Числа тс, р, о и т можно выбрать при этом бесконечным
числом различных способов (поскольку а -f- р = у -f- S, то из четырех
уравнений независимы только три, пусть, например,
р = к-тс; о = а- тс; т=г(8-а)-{-тс.
Чтобы все было положительным, должно быть a - 8 = f - fi< <тс < a, f ,
что выполняется для бесконечного числа значений тс), и различные тс, р,
