Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 120

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 145 >> Следующая

штрихи и будем писать (r)], (?2, • • • и Ер Е2, ... Относящиеся к ним
замкнутые линейные многообразия будут называться Эй,. Ш2, ..., а числа их
измерений -sI( s2, ...
Будь все s"=l, т. е. Зй" одномерны, то было бы и Зйл=[срл], Еп = Р^п j и,
из-за Е] -|- Е2 -j- ... = 1, ср,, ср2, ...-полной орто-нормированной
системой. Это означало бы, что уже макроскопические измерения позволяли
бы полностью установить состояние рассматри-
4]
Макроскопическое измерение
801
ваемой системы. Поскольку в нормальном случае это не так, то, вообще
говоря, будет sn > 1 и даже 1.
Заметим кстати, что операторы' Еп, являющиеся элементарными кирпичиками
макроскопического описания мира, в некотором смысле соответствуют
обычному в классической теории разделению на клетки фазового
пространства. Что они в состоянии приближенно передавать поведение
некоммутирующих операторов, в частности поведение столь важных для
фазового пространства Q н Р, - мы уже видели.
Какой же энтропией обладает смесь U для макроскопического наблюдателя,
чьи неразложимые проекционные операторы - это Ev Е2, ...? Или, более
точно, какую максимальную энтропию может выиграть такой наблюдатель при
преобразовании U в V, т. е.
какое уменьшение энтропии (оно может быть, естественно, во
внешних объектах в состоянии он в лучшем случае создать в качестве
компенсации за переход U-
Прежде всего следует подчеркнуть, что два ансамбля U и U', для которых
все f,, Е2, . . . обладают одинаковыми ожидаемыми значениями, т. е.
такие, что Spur(UEn) = Spur(U'En) (n= 1, 2, ...) он вовсе не может
различить друг от друга. Правда, он смог бы, возможно, сделать это спустя
некоторое время, так как U и U' эволюционируют согласно 2. и равенство
Spur(.4lM~1?n)= Spur ж
с А = е h не должно было бы более выполняться 204), но мы ведь
рассматриваем только измерения, которые можно выполнить тотчас. Итак, при
изложенных выше условиях мы вправе считать U и U' неразличимыми. Далее,
наблюдатель может употреблять лишь такие полупроницаемые стенки, которые
пропускают ср некоторых Еп и отражают все остальные. Этого оказывается
достаточно, чтобы, как без труда можно убедиться, следуя методу V. 2,
перевести
ОО СО
некоторый U' = 2 хп^п в некоторый V' = 2 Уя^я обратимым обра-
Л = 1 Я-I
зом, так что для разности энтропий сохранится выражение х Spur (?/' In
?/') - х Spur (V' In V'), т. e. энтропия U' будет равна - х Spur (U' In
U'). Правда, надо
204) Если Еп коммутирует с Н, следовательно и с ^4, то равенство все же
выполняется из-за
Spur (А ¦ UA~lEn) = Spur (UA~lEn ¦ ^4) == Spur {UA~lAE^) - Spur {UEn).
Но все En, т. e. все макроскопические величины, все они ни в коей мере не
коммутируют с Н. Многие из них, например центр тяжести какого-либо газа
при диффузии, изменяются со временем вполне заметно. Это значит, что Spur
(UEn) не постоянен. Поскольку все макроскопические величины
перестановочны, то Н ни в коем случае не есть макроскопическая величина,
т. е. энергию нельзя совершенно точно измерить макроскопически. С этим
можно согласиться без дальнейшего.
302 ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ (Г\Л. V
заметить, что, - чтобы такие V со свойством Spur V = 1 вообще
существовали, - шпуры Spur?n, т. е. числа sn, должны быть конечны.
Поэтому мы примем, что все sn конечны. Оператор U' обладает Sj-кратным
собственным значением xJt "2-кратным собственным
значением х2 поэтому - U'lnU' будет обладать Sj-кратным
собственным значением -x1lnxv 52-кратным собственным значением
ОО
- л:21п л:2, ... Таким образом, Spur U' = 1 означает, что 2 snxn = * *
П= I
а энтропия равняется -% s пх П\п х п. Из-за
П= 1
U'E,n = Ё ХпЕпЕт = ХтЕФ Spur (?/'?") = Хт Spur Ет = SmXm,
П- 1
л v Spur (WEm)
будет хт = --*----------------------, поэтому оосуждаемая энтропия будет
равна
sm
оо
- X У Spur (?/'?") In gp.ur (u'En) .
Jmd Sn
n= 1
Для произвольного U (Spur U = 1) энтропия тоже должна равняться
ОО
- х V Spur (UEn) In -gPHTTO .
** ЬП
п = 1
Действительно, положи мы
*" = . ' ¦ и' = ^хпЕа.
Spur {UEn)
' s"
л=1
то будет Spur {UEn) ~ Spur (U'En), и поскольку U и U' неразличимы, то они
должны обладать одной и той же энтропией.
Надо еще упомянуть, что эта энтропия всегда превосходит обыкновенную:
всегда будет
ОО
- X У spur (?/?") In Spur {UEn) > - X Spur {U In U),
sn
n= 1
oo
и знак равенства достигнется только для U - 2 хпЕп• Согласно
П= 1
результатам V. 3, это гарантированно будет иметь место, если 00
U' = У Spur ^UEn^ Еп может быть создано из U несколькими (не
, п П - 1
обязательно макроскопическими) применениями процесса так как
ОО
слева ведь стоит -х Spur (U' In U'), a U = 2 хпЕп означает то же,
л = 1
4] МАКРОСКОПИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ 303
что и U - U'. Выберем ортонормированную систему <рМ <р<я>,
П
растягивающую принадлежащее Еп линейное многообразие жп\ из-за
со
2 Еп - 1 совокупность всех <pW (п = 1, 2, ...; v = 1, ..., sn) об-
П - 1
разует полную ортонормированную систему. Пусть R - оператор, собственными
функциями (со всеми различными собственными значениями) которого они
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed