Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
(которые фиксируются заданием Ф) определяют срш и Чп однозначно (ср. IV.
3); обсуждение общего случая мы оставим на долю читателя.
В заключение заметим, что если М ф 1, то из-за ||2 > 0 ни U,
ни U не будут состояниями. Для М = 1 состояниями будут оба:
U = Pr" 1 и iI = Pn 1- Тогда Ф(<7, л) = с19 (q)?v (л), а сх можно 11J
I viJ 1 1
будет включить в ср^ (q). Итак, U и U будут состояниями тогда и
3]
ОБСУЖДЕНИЕ ПРОЦЕССА ИЗМЕРЕНИЯ
319
только тогда, когда Ф(д, г) имеет вид ср(^)Цг); они будут тогда равняться
Р[?] и Р[?].
На основе полученных выше результатов мы можем сформулировать следующее
утверждение. Находится система / в состоянии ср (д), а система II- в
состоянии |(г), то и /-+-// будет находиться в состоянии Ф (д, г) - ср
(д) ? (г). Если же, напротив, /-}-// находится в состоянии Ф(д, г), не
имеющем формы произведения <f(g)b(r), то I и II будут смесями, но Ф
установит взаимно однозначное соответствие между возможными значениями
определенных величин в / и II.
3. Обсуждение процесса измерения
Прежде чем довести до конца обсуждение процесса измерения в смысле
развитых в VI. 1 идей с помощью найденных в VI. 2 формальных средств, мы
хотели бы еще использовать результаты VI. 2, чтобы исключить многократно
предлагавшуюся возможность объяснения статистического характера процесса
1. (V. 1). Она основывается на следующем рассуждении. Пусть / означает
наблюдаемую систему, а II-наблюдателя. Если / находится до измерения в
состоянии
СО
U -Я|91, а II - в смеси U- 2 wnP[S.n]< то ! будет в однозначно
определенной смеси (J, именно, как легко сосчитать, следуя VI. 2, будет
СО
и = 21 ф" (?• г) = ? (?) Ев (г).
Если теперь имеет место измерение величины А в /, то его надо понимать
как взаимодействие между / и //, т. е. как процесс 2.{У. 1) с некоторым
оператором энергии Н. Если оно продолжается время t, то превратит (I в
U = е h Ue Л
именно, как легко видеть, в
со
2 wnP Г Ы
п = 1
Л
1 у
*bJ
Если бы теперь всякое Фп(д, г) имело форму (<?) (г), где фп -
собственная функция A, a f)n образуют некоторую фиксированную полную
ортонормированную систему, то это вмешательство имело бы характер
измерения, переводя каждое состояние ср системы / в смесь собственных
функций ф" оператора А. Статистический характер возникает здесь из того,
что, хотя система / и находилась до изме-
320
ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
рения в одном определенном состоянии, но II была смесью, а в процессе
взаимодействия "смешанный" характер II "заразил" и систему / -|- //, в
частности, превратил в смесь проекцию в /. Иными словами, измерение не
приводит к определенному результату из-за того, что состояние наблюдателя
перед измерением не является точно определенным. Было бы мыслимо, что
такой механизм функционирует, так как степень информации наблюдателя о
его собственном состоянии могла бы быть ограничена законами природы. Эти
границы нашли бы себе выражение в значениях wn, которые должны были бы
определяться только наблюдателем (т. е. не зависели бы от ср!).
Как раз здесь эта попытка объяснения терпит крушение, ибо квантовая
механика требует, чтобы было
== (^[Ф,,] т. ч>) = I (т. WI2-
т. е. чтобы wn зависело от ср! Существующее, возможно, другое
СО
разложение 11,= 2ЧРГф,1 (в котором Ф'п(д, r) = tyn(q)\{r)
п=1 L п\
ортогональны и нормированы!) тоже не помогает, поскольку w'n однозначно
устанавливаются (с точностью до порядка) смесью U ' (IV. 3) и,
следовательно, совпадают с wn 214).
Итак, акаузальность процесса /. обусловлена не недостаточностью знаний о
состоянии наблюдателя. Поэтому в дальнейшем мы будем всегда принимать,
что оно известно точно.
Обратимся снова к задаче, сформулированной в конце VI. 1. /, II и III
будут иметь определенное там значение; для квантовомеханического описания
систем / и II будут использоваться обозначения VI. 1, в то время как III
вообще останется вне вычислений (ср. сказанное по этому поводу в VI. 1).
Пусть А означает подлежащую измерению величину (в /), срх(^), ср2(<7),
...-ее собственные функции, а система / находится в состоянии ср(<7).
Если / считается наблюдаемой системой, а // -|- /// - наблюдателем, то
нам следует прибегнуть к процессу 2., и мы найдем, что измерение
переводит / из состояния ср в одно из состояний срл (/г=1, 2, . . .) с
соответствующими вероятностями |(ср, ср")|2
(я=1, 2, ...). К какому же способу описания следует нам прибегнуть, если
считать наблюдаемой системой / -//, а наблюдателем - ///?
В этом случае мы должны сказать, что II - это измерительный прибор,
показывающий на шкале значение величины А (из /). Положение стрелки на
этой шкале есть некоторая физическая величина В (из II), которая,
собственно, и наблюдается системой III (если II
2И) Эта форма допускает еще некоторые вариации, которые также не
заслуживают рассмотрения по аналогичным причинам.
3]
ОБСУЖДЕНИЕ ПРОЦЕССА ИЗМЕРЕНИЯ
321
лежит уже внутри организма наблюдателя, то на месте шкалы и положения
стрелки выступят соответствующие физиологические понятия, например
