Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
о, тс ведут к различным Umnim'nтак как
Vm/m'i'n/n' Wm/т'^л/л' линейно независимы, поскольку это имеет
место как ДЛЯ Чт!т', V/m/m'. так И ДЛЯ Vn/n', Wn/n'.
Перейдем теперь к доказательству достаточности, причем можем принять, что
состоянию отвечает и т/т' (другой случай рассматривается точно так же).
Итак, пусть U = /3[(f|. Поскольку полная ор-тонормированная система cpj,
ср2, ... была произвольна, можем принять, что ср1 = <р. Оператору U =
?*[<?,] соответствует, очевидно, матрица
1 для т = т' = 1,
U/л/лГ :
Итак,
О в остальных случаях. 1 для т = т' = 1,
^иЛ1Л/Л1'Л I п
л=1 ( 0 в остальных случаях.
В частности, для тф 1 2°тл/л1л = 0. но поскольку по определе-
Л= 1
нию ^тп/т'п' ВСе итл/тл > 0 (действительно, и,"л/л!л = (11Фтл* Фтл)). то
в этом случае итл;тл = 0. Это значит, что (U(r)mn, Ф/ял) = 0,
следовательно, в силу дефинитности U, и (U(r)mn, Ф/я'л') = 0 (ср. 11. 5,
теорема 19.) для произвольных т', п'. Но это значит, что из тФ 1 следует
отл/т-лг=гО, а вследствие эрмитовости то же будет следовать и из т'ф 1,
Но для т = т'= 1 получается
ОО
и1л/1л' : 2 итл/л1л' : Дл/л'1
т = 1
Тем самым, как и утверждалось, оказывается, что решение итП[т'п
определено однозначно.
Резюмируя, можно сформулировать наш результат следующим образом.
Статистический ансамбль в /-{- II с оператором U = {этл/л1'л'} однозначно
определяется определенными только в / и только в II статистическими
ансамблями с операторами U = {lim/nr} и U = [ип1"'\ тогда и только тогда,
когда выполняются следующие условия:
^тп/ш'п' === V/л/лГ^л/л'*
314 ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ [ГЛ. VI
99 аз оо
(Из равенства Spur U= 2 = 2 Vm/(tm) 2 vmn = 1 еле-
m, n=i 1 m=s 1 n-1
дует, что мы можем умножением vm/m' и vn/n' на два взаимно обратных
множителя добиться выполнения
СО СО
2 Vm/m ^ 1 > 2 (r)л/л = 1 •
m = 1 л = 1
Но тогда ВИДНО, ЧТО будет um/m'= Vm/m' И "л/л' = (r)я/л'-)
2. Выполняется либо vm/m' = xmxm>, либо vn/n'~x"x'n.
со
Ибо U = ^>[ip| означает, что ср = 2 УтТ/я1 следовательно,
т = 1
ит/т' = УтУт' и соответственно для Vm/m'" аналогично рассуждаем
И ДЛЯ 7/ = Р[Е].
В дальнейшем мы будем называть U и (/ проекциями оператора U в / и в II
212).
Обратимся теперь к состояниям из /-(-//, U = Р[Ф]. Относящиеся к ним
волновые функции Ф (q, г) могут быть разложены по полной
ортонормированной системе Фтл07> г) = ?т 07) (л):
СО
Ф(дг, /¦)= 2 /тпЧтШп(г)-
т, п= 1
Мы можем также заместить их коэффициентами fmn(m, "=1,2, . . .),
СО
которые ограничены только условием 2 1/тл12 = 11фН2 конечна.
т,п- 1 .
Можно ввести также два оператора F и F* равенствами
F4{q)= / Ф(Я- г) ? (Я) dq,
F*\{r)= f Ф("7, г) X (г) dr.
Они линейны и обладают той своеобразной особенностью, что, будучи
определенными в 917 или соответственно в :Т{77, принимают значения из
Sft7/ или соответственно из SR7. Они соотносятся как сопряженные
операторы, поскольку, очевидно, (Fср, ?) = (ср, F*?) (внутреннее
произведение в левой части образуется в 9t77, а в правой - в 9t7!).
Поскольку различие между SR7 и SR77 не имеет математического значения, то
мы можем применить результаты 11.11, и поэтому ? (F)
212) Проекции состояния из /-(-// оказываются в / и в //, вообще говоря,
смесями, ср. ниже. Это обстоятельство было открыто Ландау (Ь. Landau, Zs.
f. Phys. 45 (1927)).
2] СОСТАВНЫЕ СИСТЕМЫ 315
и Е (F*), поскольку речь идет об интегральных операторах, будут равны
J j|Ф(<7, r)\2dq dr = \\Ф\\2 = \ (!|ФП в 9t7+7/!)
и, следовательно, конечны. Поэтому F и F* будут непрерывными, даже
полностью непрерывными операторами, произведения F*F, равно как и FF*,
будут дефинитными операторами и
Spur (F*F) = Е (F) = 1, Spur (FF*) = Е (F*) = 1.
Обращая снова внимание на различие между W и Ш11, замечаем, что F*F
определено в 9t7, a FF* - в SR77.
ОО
Так как Fym(q) оказывается равным Е fmn%n(r)> т0 оператор F
Л= 1
имеет своей матрицей {fmn\ (при использовании полных ортонор-мированных
систем ym(q) и $"(/•)); аналогично матрицей оператора F* будет \fmn)-
Поэтому F*F и FF* будут иметь матрицы
| 2 fmnfm'n | И | Ei f mnf тп' | •
С другой стороны, оператор || = Р[ф] будет обладать в системе функций
Фтл(<7, г) = <рт(<7)\п(г) матрицей {fmnfm'n'}> так что мат-
ОО
рицами его проекций ии?/в/ив// будут Е fmnfm'n и соот-
Л=1
оо
ветственно 2 Jmnfmn' 213)- Поэтому т = 1
и - F*F, и = FF*.
Это утверждение не будет зависеть от выбора функций <рт и \п (так как U.
U и F не зависят от такого выбора).
Операторы U и U полностью непрерывны и, согласно 11.11 и IV.3, могут быть
записаны в виде
ОО оо
u=g,<piv и=Ж<ры
где образуют полную ортонормированную систему в Ш7, t\k - такую систему в
SR77 и все w'k, w"^-0. Опустим теперь в каждой из обеих формул члены с
w'k = 0 или w"k = 0 и перенумеруем оставшиеся опять последовательными
числами 1, 2, ... Тогда функции ф"й или У]к будут образовывать уже только
ортонормированную, но
213) Математически это рассуждение соприкасается с работой Е. S с h ш i
d 1' a, Math. Ann. 63 (1907).
316 ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ [ГЛ. V!
