Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
СО
не обязательно полную систему, на месте сумм 2 выступят
М' М"
2 й 2 • где М' и М" с равным правом могут
как равняться
*=i *=i
бесконечности, так и быть конечными, но зато все w'k и w"k будут теперь
строго больше нуля.
Рассмотрим некоторую <]>*. Будет Uty* = "^фл, следовательно,
F*Fitk - wkh' FF*F'h = wkF^k¦ UF'h = 4F^k•
Далее
Fb) = (m*. b) = (Ut*. <h) =
t Wk для k=l,
=<(*.¦ t,) = |0 для кф1
Поэтому, в частности, ||2 = w'. Итак, функции -~^Ftyk об-
Ущ
разуют ортонормированную систему в 5t7/ и, более того, они будут
собственными функциями оператора U с теми же собственными значениями, что
у функций для U (т. е. равными w'). Это значит, что всякое собственное
значение U будет и собственным значением не меньшей кратности для
оператора U; переставляя U и (/, получаем, что эти операторы имеют
одинаковые собственные значения с одинаковыми кратностями. Итак, числа
w'k и w"k совпадают попарно с точностью до порядка нумерации. Поэтому М'=
М" - М, и изменением порядка нумерации w"k мы можем достигнуть выполнения
w'k - w"k = wk. Но, коль скоро это так, мы можем, не теряя общности,
выбрать г\к = -)=. Fi>k. Тогда будет у wk
F*nk = -L F-Fiik = -L U<1>* =
Y Wk Wk Wk
Итак,
Дополним теперь ортонормированную систему ф2> • • • Д° полной
V <1>2 ?v ? а систему Tjj, т)2, ... до Tjj, tj Tjj, tj', ...
(каждая из систем ф', ф', ... и т)2, ... может быть пустой,
конечной или бесконечной; они строятся независимо друг от друга). Все
предыдущие рассуждения не зависели от выбора полных орто-
*) См. прим. 212) на стр. 314.
2] СОСТАВНЫЕ СИСТЕМЫ 317'
нормированных систем cpj, ср2, ... и ?х, \2....... мы можем поэтому
выбрать в качестве их системы ф2 ф2, ... и^, у]2......................
у]'}, т)', ... Именно, пусть совпадает с ср , f\k - с ?Vft(!Ai> Рг* •••
взаимно различны; то же для .. .). Тогда
F%k=Vwk^k' ^т = 0 для тф\ь, р.2, ...
Итак,
, __f Vwk для OT = 1V " = v k = \, 2...........
fmn | .
I О в остальных случаях, или, что то же самое,
м ______
Ф (Ч> г) = 2 Vwk V (Я) (г).
к = 1 к к
Таким образом, мы достигли, путем соответствующего выбора систем <рт(<7)
и ?л(г), того, что каждая строка и каждый столбец матрицы \fmn\ содержат
самое большее один не равный нулю элемент (то, что он даже веществен и
положителен, именно равен Y'wk' для дальнейшего не важно). В чем
заключается физический смысл этого формального утверждения?
Пусть А - оператор с собственными функциями cpj, ср2 и
всеми различными собственными значениями, например ах, а2, ...; В-такой
же оператор с функциями 5Х, \2, ... и значениями Ъх, Ь2,... Оператор А
соответствует некоторой физической величине в I, оператор В - в //; эти
две величины допускают, следовательно, одновременное измерение. Легко
видеть, что утверждения "Л имеет значение ат" и "В имеет значение Ьп"
определяют совместно состояние Фтл(<7> r) = '?m(q)ln(r), которое имеет в
состоянии Ф(^, г) вероятность Ф)=|(Ф> Фтл)|2= \fmn\2' Таким образом,
наше утверждение означает, что А и В одновременно измеримы, и если бы
один из них был измерен в Ф, то тем самым значение другого было бы
однозначно определено. (Собственное значение ат, которому отвечают все
fmn = 0, встретиться не может, поскольку
ОО
его полная вероятность 2 \fmn\2 не может равняться нулю, если ат
л=1
вообще можно найти. Итак, точно для одного п fmn Ф 0. Для Ьп - так же.)
Это означает, что в состоянии Ф может встретиться много значений
оператора А (каждое значение ат, для которого
ОО
2 | fmnР > 0* Т' е- существует п с /тпф 0, - в большинстве случаев
Л = 1
это будут все и столько же значений оператора В (каждое Ьп,
318
ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. vr
для которого 2 \fmn\2'>(r)< т- е- существует одно т с /тпф0),
п = 1 ]
но Ф устанавливает между возможными значениями А и В однооднозначное
соответствие.
Если назвать возможные т: jJ4, р2, .... а соответственные возможные п:
Vj, v2, . .., то будет
скФ 0, для m = pk, п = чк, k=\, 2...............
10 в остальных случаях,
f тп
т. е. (М - либо конечно, либо бесконечно)
м
ф(<7. 0 = 2 (0? (л).
* = 1 *к к
Далее будет
для т = т' = {хл, k=\, 2, ....
Umm 2} fmnfm п | Q В ОСТаЛЬНЫХ Случаях
I Сь 12 для n = n' = vk, k=\, 2,
Unn ^i^mn^mn | 0 в остальных случаях, следовательно,
ОО ОО
Итак, будучи спроектировано в / или в II, Ф становится, вообще говоря,
смесью, оставаясь состоянием только в / -J- //, поскольку
оно включает утверждение относительно /-)-//, которое нельзя использовать
ни в рамках одной системы I, ни в рамках одной
системы II,-взаимно однозначное соответствие между значениями операторов
А и В.
Таким образом, для любого Ф мы можем так выбрать А и В, т. е. функции срт
и что это наше условие будет выполнено, но для произвольных А и В оно,
конечно, нарушится. Иными словами, каждое состояние Ф устанавливает
определенную связь между / и II, в то время как связываемые величины А и
В зависят от Ф. В какой степени определяет их, т. е. срт и \п, состояние
Ф, легко установить. Если все |cft| различны и не равны нулю, то U и U
