КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
условие
X - ан^)2 ^ \а\2со1\з\~2т Для всех 3 е \ (°) (L5)
для некоторых положительных констант т, со- Оказывается, что для почти
всех векторов а ? Мт такие константы существуют. К тому же из этого
условия не следует, что av являются независимыми в поле рациональных
чисел. Для m ^ 3 могут, например, существовать векторы а с координатами
а2 = 1, = • • • = ат = 0, удовлетворяющие
неравенству (1.5).
Теорема 1.1. Если а удовлетворяет условию (1.5), то слоение Т%, заданное
(1.2) и минимальное относительно ds2, будет устойчивым.
Этот результат показывает, что вопрос об устойчивости связан с теоретико-
числовыми условиями на нормальный вектор а. С другой стороны, если а -
рациональный вектор, то разумеется, неустойчиво.
Для m = 2 эти минимальные слоения соответствуют полям геодезических линий
на торе Т2. Для плоского тора Т2 все геодезические линии - прямые линии
на М2, и для каждого направления а = (ад, а2) ? К2 \ (0) существует
минимальное слоение перпендикулярное к а. Хорошо известно, что любая
геодезическая линия, вложенная в поле экстремалей, таких как листы
слоений, является глобально минимальной, и в частности не имеет
сопряженных точек.
Согласно теореме Е. Хопфа, метрика на торе, для которой все геодезические
линии не имеют сопряженных точек, обязательно плоская. Это показывает,
что для произвольных метрик не все геодезические линии являются
элементами минимальных слоений.
в) В дальнейшем ограничимся слоениями, листы которых могут быть
представлены в виде графиков функции. Для этого примем m = = п + 1,
х = (ад, ж2, ... , xn+i) ? Mn+1, X = (ад, ж2, • • • , хп) ? М" (1.6)
и потребуем, чтобы листы на накрывающем пространстве Мт были представимы
в качестве графиков
хп+1 = и(х).
Глава 1
219
Вышеуказанный пример показывает, что не каждое слоение допускает такое
представление. Такое достаточно негеометрическое ограничение связано с
непараметрическим характером вариационной задачи:
J F(x, и, их) dx; dx = dx 1 Л ... A dxn. (1-7)
Здесь мы полагаем, что
' (l)F = F(x,p)eC2'E(Tn+1xRn),
т. е. имеет период 1 по жх, ... , жп+1.
(II) Существует S ? (0, 1] такая, что
П
Е
V = 1
для всех ? € К" (условие Лежандра).
(III) Квадратичный рост: существуют положительные константы 5, с±, сг
такие, что 5\р\2 ^ F(x, р) ^ б-'Ы2 + ci,
71+1
Е \F*ifap)\ ^ сЛ\р\2 +1)
i=i
для всех х ? Mn+1, р ? М".
Из условия периодичности (I) следует, что вариационная задача определена
на торе Тп+1. Условия (1.8), более слабые, чем условия в [17], достаточны
для оценок минималей (см. [7]).
Типичным примером является квадратичный полином
F = (а(х)р, р) + 2 (Ь(х), р) + с (ж)
с коэффициентами периода 1 по жх, жг, ... , ж"+х и с положительной
симметричной матрицей а{ж). В частном случае
F=\\p\2+v(x) (1.9)
два слагаемых соответствуют кинетической и потенциальной энергии. Назовем
и = и{х) экстремалью вариационной задачи, если она является
220 Минимальные слоения на торе
решением уравнения Эйлера
п
^ и Н, Их) - + 1 (*^5 И, Их)' (1.10)
г/=1
Вместо изучения слоения на Тп+1, поднимем его в накрывающее пространство
и рассмотрим слоение на Mn+1. Нужно принять во внимание, что это слоение
инвариантно относительно действия Zn+1.
Определение 1.2. инвариантное F-минимальное слоение
определяется непрерывной функцией и: 1" х 1 К со следующими свойствами:
1) для каждого lei функция и = и(х, А) является решением уравнения Эйлера
для всех х ? К";
2) для каждого х ? М" отображение А -> и(х, А) является гомеоморфизмом 1
на 1, в частности, и(х, А) < и(х, А') для А < А';
3) слоение, заданное листами {ж"+1 = и(х, А), А ? М} инвариантно
ОТНОСИТеЛЬНО Z(tm)+1-fleflCTBHH.
Из теории регулярности следует, что листы принадлежат С2, т.е. и( •, А) €
С2, даже если предположить, что и являются только слабыми Д^-решениями
уравнения (1.10). Однако мы предполагаем только непрерывную зависимость
от А.
Ввиду гладкости листов минимального слоения единичный нормальный вектор
(вместе с позицией ж"+1-компоненты) корректно определен и непрерывно
зависит от своей исходной точки. Примечательно, что этот нормальный
вектор всегда непрерывен по Липшицу. С другой стороны, непрерывность по
Липшицу является оптимальной, как показывает следующий пример. Если п = 1
и
F = \ (ul ~ cos ^жи),
то уравнение Эйлера принимает вид
ихх = sin 2тги.
Для этой задачи минимальное слоение задано уравнением
их = sin7ru|,
Глава 1
221
которое имеет лишь непрерывную по Липшицу нормаль, в то время как листы,
заданные соотношением
tg jjU = сех для всех с ^ О, 0 ^ и < 1,
очевидно являются аналитическими.
Было бы более правильным говорить об экстремальном слоении, т.к.
требуется лишь, чтобы листы были экстремалями вариационной задачи (1.7).
Однако оказывается, что любой лист такого слоения автоматически минимален
в следующем глобальном смысле.
Определение 1.3. Функция и ? H^(Rn) называется минималью (1.7), если
j(F(, , и + <Р, их + <рх) - F(x, и, их)) dx ^ 0 (1-11)
К"
для всех ip G шр(Мга).
Очевидно, что не всякая экстремаль является минималью, в то время как,
