КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
и j -> оо дает
lim^x(cj) = lim/х(с") = ui(0* + с*) - и2(0*) ^ /х(с*). Следовательно /х
непрерывно в с* и, следовательно, в М.
208
Построение инвариантных кривых и множеств Мезера
Перейдем к доказательству (IV) и покажем, что и(в + с) - и(в) 0
для с > 0. Иначе /х(с) = min(и(в + с) - и(в)) было бы отрицательным
в
для некоторой положительной с, и так как /х(с) +оо при с -> +оо, можно
было бы найти со > 0 такое, что п(со) = 0. Таким образом и(в + со) и (в)
с равенством для некоторого в. Так из утверждения (II) имеем и(в + со) =
и(в) для всех в. Это значит, что и(в) имеет период со и, следовательно,
ограничено, что противоречит условию (12). Итак, и(в) является монотонной
с производной и(в) ^ 0.
Дифференцируя уравнение (11), получим для z = ug дифференциальное
уравнение
Lz = -vzgg + (hll(u, и+) + h22(u~, u))z +
+ h12(u, u+)z+ + h12(u~, u)z~ = 0.
Поскольку z ^ 0, то из принципа максимума делаем вывод, что z = 0
или z > 0. Первый случай исключается, потому что при этом и = const,
следовательно ug > 0.
Наконец, установим (V). Нормируем и = и(в; a, v) условием
1
и(0; а,и) = Он заметим, что ug > 0, J ид d0 = 1. По теореме
о
выбора Хелли, существует последовательность г/*, -> 0, для которой Uk(0)
= и(в\ a, Vk) почти повсюду стремится к монотонной функции и*(в).
Фактически Uk(0) стремится к и*($) в каждой точке непрерывности и*. Более
того, и*(в +1) = и*(в) +1. Из уравнения Эйлера (11) следует, что
J (-vipggu + ip (hi{u, и+) + h2(u~, и))) de = 0 для u = uk,v = vk
к
для всех р> € C'g0mp(M). Следовательно, для v = Vk -> 0, по теореме об
ограниченной сходимости, получим
J р> и+) + h2(u~, и*)) d0 = 0.
к
Из этого соотношения следует обращение в нуль выражения в скобках во всех
точках неперерывности и*.
§5. Функция избытка Вейерштрасса
5. Функция избытка Вейерштрасса
209
Аргументы предыдущих разделов показывают, что для минимального и из
утверждения (I) имеем
7"(ц) ф /"(и) для vex.
Мы хотим установить это соотношение методами вариационного исчисления,
используя то, что функции и = и(х + с), се М, образуют "поле
экстремалей".
Обозначим подынтегральную функцию в 7" через
F(x0, Х\, р) = |р2 + h(x0, хг), (14)
где необходимо заменить Хо, х±, р на и(в), и(в + а) и ие(6)
соответственно. Необычным в этой подынтегральной функции является
то, что F
зависит от смещенного аргумента х\ = и(6 + а). В этом случае условие
Лежандра соответствует
Fpp = is > 0; FXoXl = h\2 < 0. (15)
Так как F не зависит от независимой переменной в, имеем:
1
/"(") = J F(v, v+,ve) de, veX, о
инвариантен относительно сдвигов в в + const.
Минимальные и(в + с), с е 1, построенные в предыдущем разделе, дают поле
экстремалей, то есть кривые х = и(в + с) покрывают (в - ж)-плоскость
простым образом. Так как ив > 0 и и принимает все значения в М, можно
определить две функции ф, х как ф = и+ о и-1, X = ив о и~1 так, что
и+ = ф(и); ив = х(и),
где ф(х) - х, х(х) имеют период 1. И наоборот, семейство и(в + с)
определяется вторым отношением. Отметим, что ф'{х) > 0.
Мы определим функцию
Е(х0, хи р) = |(р - хЫ))2 ~ JJ h12(?, 7]) dr] ф 0, (16)
D(xо, *i)
210
Построение инвариантных кривых и множеств Мезера
где D(xо, Xi) является областью, ограниченной горизонтальным и
вертикальным отрезками, проходящими через (жо, %i)i и частью кривой Xi =
ф(хо). Эта функция является обобщением функции избытка Вейерштрасса. Для
всякой имеем соотношение
1
/"(")=№)+ jE(v, v+,ve)d0, о
устанавливающее минимальный характер и, так как Е ф 0.
Доказательство проводится стандартным способом. Вычтем из F функцию
F*(xо, хх, р) = f'{x0)p + g{xx) - g(x0) + с0, (17)
где f'(x), g'(x) имеют период 1, и со - постоянная. Тогда для любого v €
X соответствующий интеграл 1 1
j F*(v, v+, ve) d0 = J(f(x) + ag(x)) dx + c0 о 0
не зависит от v, и, таким образом, F и F - F* приводят к эквивалентным
вариационным задачам. Выберем /, g, со так, чтобы функция
Е(х0, Х\, р) = F(x0, Х\, р) - F*(x0, Х\, р)ф 0
для всех аргументов, и так, чтобы она равнялась нулю для х\ = ф{хф), Р =
х(хо)- Это требует
ЕХо = ЕХ1 = Ер = 0 при X! = ф(х0), р = у(ж0).
§5. Функция избытка Вейерштрасса 211
Второе и третье уравнения дают
g'(x) = Н2{ф~1(х), ж); f'{x)=vx{x), (18)
в то же время первое уравнение получается из этого с помощью уравнения
Эйлера. Очевидно, на кривой х\ = ф(хо), р = х(хо) функция Е - постоянная,
которая может быть приравнена к нулю подходящим выбором со- Это дает
со = -|х2 +Цх, ф)-g#) +g(x). (19)
Учитывая (17), (18) и (19) получим
XI
F* = vxp ~ |у2 + h(x0, ф) + J 112(ф~1(г]), n)dr]
¦ф(х о)
и таким образом
E = F-F* = г'у + Цх0, хг) - F* =
XI
= +Цхо, Хг) -h(xu ф) - J ь2(ф~1(т]), v)dr]-
lp(xo)
Обобщая формулу (5), можно переписать это как уравнение (16).
Если обозначить интеграл, соответствующий подынтегральной функции F*,
через (/")*, то этот интеграл не зависит от выбора #е1, что следует из
нашего предыдущего рассмотрения. Более того, Е = О для хо = и, Xi = и+, р
= ug. Поэтому имеем
1
/"(")-(/")* = j E(v, v+,ve)de
