КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
1989, V. 64, 84-132).
§2. Множества Мезера
(I) условию периодичности:
f(x + 1 ,у) = f(x, у) + 1; g(x + 1, у) = g(x, у),
201
(II) условию точной симплектичности:
J Уо dx о = J Ух dx 1
ДЛЯ любой кривой Уо = w(xo) = w(xo + 1)
(III) условию монотонности:
Отметим, что теория Мезера применима к гомеоморфизмам, хотя мы
ограничиваемся случаем С'°°-диффеоморфизмов.
Предположим, что для каждого фиксированного значения ж0, функция f(xо, •)
монотонно отображает М на себя, так что можно представить у как функцию
от х и х±. Это приводит к представлению (1) через производящую функцию h
= h(x0, х\) в виде
где hi, h2 обозначают частное дифференцирование h по первому или второму
аргументу. Условия (I)-(III) означают, что
{Цх0 "Ь 1, х\ + 1) hi^xо, д-i), . .
- /Из > 0. { '
Для простоты потребуем, чтобы это условие выполнялось равномерно, то есть
Из этого условия следует, что для фиксированного у отображение xq -> -
/гг(а?о, у) является монотонным из М1 на М1 и что
Уо = -Мжо, a;i), yi=h2{xo,xl)
-hi2 ^ 5 > 0 выполняется в М2.
(3)
h(x0, д-i) ^ 2 (^i хо) с с постоянной с. Это следует из (2), (3) и
тождества
(4)
202
Построение инвариантных кривых и множеств Мезера
где Т - прямоугольный треугольник, две стороны которого лежат на
вертикальной и горизонтальной прямых, проходящих через точку (ж0, х±), а
третья лежит на диагонали (жо = х±). В частности, h ограничена снизу.
Задача заключается в нахождении замкнутых инвариантных кривых у = w(x) с
непрерывной w, удовлетворяющей условию w(x + 1) = = w(x), или, более
обще, инвариантных множеств, лежащих на такой кривой, представленной в
виде графика. В случае инвариантной кривой отображение ip задает
отображение окружности на у = w(x), определенное через
Х0 ->• f(x0, w(x0)) = X!, для которого число вращения а может быть
найдено как
где xj является образом х0 относительно j-й итерации ранее описанного
отображения.
Для того чтобы найти инвариантное множество для заданного числа вращения,
представим (следуя Мезеру) это множество параметрически
где и (в) - 0, v(0) имеют период 1 и и(0) монотонно возрастает так, что
порожденное отображение задается вращением 0 -> в+а. Аналитически это
требует решения разностного уравнения
с данными выше ограничениями.
При сделанных предположениях, теорема Мезера [2] обеспечивает для каждого
a€l существование решения разностного уравнения (7), для которого
Xj
а = lim -, j-ю° 3
х = и(в); у = v(6),
(6)
и{в + а) = f(u(0), v(0)), v(0 + a) =g(u(0), v(0))
(7)
a) u(0) - 0, v(0) имеют период 1
b) u(0) строго монотонно возрастает.
(8)
§3. Регуляризированная вариационная задача 203
Такая монотонная функция и имеет не более, чем счетное число разрывов.
Если она непрерывна, то из (7) следует, что v также непрерывна и
представляет собой инвариантную кривую. Ее график у = гг (ж) задается
уравнением
w = v о И-1. (9)
Если и в точке Жд имеет скачок, тогда и имеет также скачок в Жд + ja, j ?
Z и для иррационального а разрывы плотны; и(в) является обратной функцией
Кантора, а область определения и - одномерное канторово множество.
В этой работе рассматривается решение разностного уравнения (7), которое
вместе с производящей функцией может быть записана в эквивалентной форме
V = -hi(u, U+), V+ = tl2(u, и+),
где и±(0) = и(в±а), v±(6) = v(6±a). Исключая v, получаем разностное
уравнение
hi (и, и+) + h2(u~, и) = 0, (10)
которое Мезер решил с помощью вариационного принципа
1
J h(u, и+) dd,
о
предложенного Персивалем. Он получил решение уравнения (10) минимизируя
этот функционал в классе функций, удовлетворяющих условию (8).
Существование такого минимума устанавливается без особого труда. Главная
сложность заключается в том, чтобы проверить, выполняется ли "уравнение
Эйлера" (10) для такого класса функций (8).
§ 3. Регуляризированная вариационная задача
Заменим предложенную выше вариационную задачу следующей:
1
4" = j (|"i + Ни, "+)) de-, ив = ||, о
204
Построение инвариантных кривых и множеств Мезера
добавляя искусственную "вязкость" с v > 0. Найдем минимум для этого
функционала в классе X функций м, для которых и(в) = и(в) - в принадлежит
пространству Соболева ff1(S'1), то есть м должно иметь период 1, и его
первая производная принадлежит L2[0, 1]. Монотонность не обязательна. Для
h мы должны потребовать выполнения условия (2), а также ограниченности
снизу и гладкости.
Основные результаты содержатся в следующих утверждениях:
(I) Для v > 0 функционал 7" достигает минимума в X и каждая точка
минимума м для 7" принадлежит С°°, то есть и - в ? C°°(S1). Кроме того,
каждое минимальное м удовлетворяет уравнению Эйлера
-vuee + hi(u, м+) + h2(u~, и) = 0, (11)
где м± - (в) = и(в ± а).
Каждое решение и = и (в) уравнения (11) с граничным условием
и(в + 1) = и{в) + 1 (12)
соответствует экстремуму 7" в X. Дальнейшие рассуждения показывают, что
для фиксированного v > 0 этот функционал в X имеет минимум в качестве
единственного экстремума, а соответствующее минимальное и = и(в) является
