Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 65

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 136 >> Следующая

единственным с точностью до сдвигов в -> в + const. Этот вывод будет
сделан из следующих утверждений, которые являются простыми следствиями
принципа максимума.
(II) Если т, U2 ? С2(Ш) - произвольные два решения уравнения
(11) для v > 0, удовлетворяющие условию щ ^ "2, то либо и\ = иг,
ЛИбО Mi < U2-
(III) Если Mi, М2 ? С2(Ш) - любые два решения уравнения (11), при v > 0
удовлетворяющие условию (12), то существует такая постоянная с, что
и2(в) =т(в + с),
то есть эти решения единственны с точностью до сдвига в -> в + const.
Из этого делаем вывод, что для v > 0 единственный экстремум от 7"
является минимумом, существование которого утверждается
в (I).
(IV) Любое решение м € С*2(М) уравнений (11) и (12) строго монотонно и
удовлетворяет условию ив > 0.
Эти результаты выполняются при v > 0. Для того чтобы изучить предел v ->
0 можно нормировать минимум условием м(0) = 0 и обозначить эту
единственную функцию как м = и(в; а, v).
§4. Доказательства
205
(V) Существует последовательность vi~ > 0, Vk -> 0 такая, что Uk(0) =
и(в\ a, Vk) почти повсюду сходится к монотонной функции и*($), которая во
всех точках непрерывности удовлетворяет условию
hi(ut, и+) + Ъ,2{и~, и*) = 0, и*(0 + 1) = и*{6) + 1.
Эта функция и* может иметь счетное количество разрывов, что приводит к
дырам в множестве Мезера. Эта функция аппроксимируется гладкими функциями
и*.
Можно использовать эту гладкую функцию и(в\ a, v), чтобы построить для
каждого а гладкую кривую
у = w(x; a, v),
приближающую множество Мезера. Для v > 0 эти кривые также гладко зависят
от а, и можно было бы ожидать, что при фиксированном v > 0 получается
семейство кривых, просто покрывающих цилиндр. Это потребовало бы
монотонной зависимости w = w(6\ a, v) от а так, чтобы кривые,
соответствующие различным значениям а, не пересекались. Мы надеялись, что
это будет выполнено, но доказать монотонность w по а мы не можем.
§ 4. Доказательства
Дадим доказательства утверждений (I)-(V). Чтобы доказать первое
утверждение, отметим, что h ограничена снизу, и поэтому функционал 7" в X
также ограничен снизу. Пусть и j = в + uj € X является минимизирующей
последовательностью. Из вида 7" ясно, что
ограничено и, поскольку 7" инвариантен относительно сдвигов и (в) и(6
+ const), предположим
206
Построение инвариантных кривых и множеств Мезера
Таким образом,
IIй.?'IIЯ1 (S1)
ограничено, и можно найти подпоследовательность, опять называемую Uj,
которая слабо сходится в Я1 (S'1). Кроме того, 7" является
полунепрерывным снизу относительно слабой сходимости в H1(S1), и таким
образом минимум 7" достигается на функции и € X. Также этот минимум
удовлетворяет проинтегрированному уравнению Эйлера
в
vue = 1 (и, и+) + fl2(u , и)) d0 + const,
о
Из этого следует, что и ? С°° и что и удовлетворяет условиям (11), (12).
Другими словами, обычные прямые методы вариационного вычисления применимы
к этой задаче, если v > 0.
Чтобы доказать утверждение (II), положим z = и2 - щ ^ 0 и из уравнения
(11) получим дифференциальное уравнение
-vzee + т(в)г + hi2(*)z+ + hi2(**)z~ = 0,
где звездочки указывают некоторые промежуточные значения и т(в) = Л.ц(*)
+ h22(**) - непрерывная функция. Из условия hi2 < 0, z^ 0 получим
-vzee + m(6)z ^ 0, z ^ 0,
или
Zee ^ (tm)Z, z^O.
Из этого неравенства заключаем, что, по принципу максимума, либо z = 0,
либо z > 0. Можно было бы продолжить следующим образом. Множество нулей z
очевидно является замкнутым множеством на М, и достаточно показать, что
оно открыто, чтобы увидеть, что оно пусто или совпадает с М.
Если это множество нулей не пусто и содержит, например, 0 = 0, тогда мы
имеем z(0) = 0, z'(0) = 0 и таким образом
е
0 ^ z(9) ^ J(в - t)-jj-}-z(t) dt, о
§4. Доказательства
207
следовательно,в некоторой окрестности |0| < S
z(0) ^ с
V
jm
dt
Принимая во внимание неравенство Гронуолла, это дает z = 0 при \в\ < S,
доказывая, что множество нулей открыто, т. е. М.
Те же рассуждения доказывают (III). Действительно, определим
для с € М
/х(с) = min(ui(0 + с) - и2(0)). в
Поскольку функция щ(0 + с) - и2(0) имеет период 1, минимум принимается
при некотором в = ?(с) ? [0, 1]. Также из уравнения (12) делаем вывод,
что /х(с + 1) = /х(с) + 1, следовательно, если мы установим непрерывность
/х, то увидим, что /х(с) принимает все значения из М, в частности, нуль.
Если подберем с так, что /х(с) = 0, тогда щ(0 + + с) ^ и2(0) с равенством
для в = ?(с) и согласно утверждению (II) заключаем, что и\(0 + с) = и2(6)
для всех в.
Установим непрерывность /х. Пусть cj - произвольная последовательность,
сходящаяся к с* при j -> оо, тогда из неравенств
fl(cj) ^ иг{0 + Cj) - и2(в)
следует, что при j -> оо
lim/x(cj) ^ ui(0 + с*) - и2(0) при всех в ? М.
Таким образом limfi(cj) ^ /х.(с*), то есть /х полупрерывно сверху. Чтобы
показать, что limfi(cj) /х.(с*) выберем такую подпоследовательность с'-,
чтобы lim/x(cj) = lim/х(с') и подпоследовательность с" в c'j такую, что
?(с") в*. Тогда
/х(с") = и±(в + с") - и2(в) для в = ?(c'j)
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed