Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 63

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 136 >> Следующая

сентября 1969 г.), Изд. Института математики АН УССР, Киев, 1970, т. 1.
[7*] А.П.Маркеев, Об устойчивости канонической системы с двумя степенями
свободы при наличии резонанса, ПММ, 32 (1968), №4, 766-772.
[8*] А.П.Маркеев, Об устойчивости треугольных точек либрации в круговой
ограниченной задаче трех тел, ПММ, 33 (1969), №1, 112-116.
[9*] J. Williamson1, On the algebraic problem concerning the normal forms
of linear dynamical systems, Amer. J. Math., 58 (1936), №1, 141-163.
1Из большого цикла статей Дж. Вильямсона, опубликованного в Amer. J.
Math.
в 1936-1940 гг., мы приводим здесь три наиболее близкие тематике книги.
Остальные статьи посвящены родственным алгебраическим вопросам и без
труда могут
быть отысканы заинтересованным читателем. - Прим. ред.
198
Лекции о гамильтоновых системах
[10*] J. Williamson, On the normal forms of linear canonical
transformations in dynamics, Amer. J. Math., 59 (1937), №3, 599-617.
[11*] J. Williamson, An algebraic problem involving the involutory
integrals of linear dynamical systems, Amer. J. Math., 62 (1940), №4,
881-911.
[12*] M. Braun, On the applicability of the third integral of motion, J.
Diff. Eqs., 13 (1973), №2, 300-318.
О ПОСТРОЕНИИ ИНВАРИАНТНЫХ КРИВЫХ И МНОЖЕСТВ МЕЗЕРА С ПОМОЩЬЮ
РЕГУЛЯРИЗИР0ВАНН0Г0 ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА1
В своей работе о монотонных закручивающих отображениях Д. Мезер построил
замкнутые инвариантные множества с заданным числом вращения, используя
вырожденный вариационный принцип. Мы предлагаем регуляризированный
вариационный принцип с гладкими решениями и показываем, что они
приближают в общем смысле разрывные решения Мезера. Регуляризированный
вариационный принцип содержит неизвестную функцию со сдвинутым
аргументом. Функция избытка Вейерштрасса обобщена для этой ситуации.
§ 1. Введение
В этой работе рассматриваются монотонные закручивающие отображения кольца
или цилиндра, возникающие как отображения последования в гамильтоновых
системах с двумя степенями свободы. Для таких отображений Д. Мезер
разработал интересную теорию, устанавливающую существование инвариантных
множеств для заданных чисел вращения. В общем случае, они являются
канторовыми подмножествами на замкнутых кривых Липшица или, в
благоприятных условиях, такими инвариантными кривыми, которые были раньше
получены с помощью так называемой теории КАМ при очень сильных
ограничениях. Если число вращения иррационально, то траектории на этих
инвариантных множествах квазипериодичны в обобщенном смысле, а если это
число рационально, то они содержат периодические орбиты. Недавний обзор
по множествам Мезера содержится в работе В. Бангерта [1].
1J. Moser. On the construction of invariant curves and Mather sets via
regularized variational principle. Periodic solutions of Hamiltonian
systems and related topics (II Ciocco, 1986), 221-234, NATO Adv. Sci.
Inst. Ser. С Math. Phys. Sci. 209, Reidel, Dordrecht, 1987. (Перевод
выполнен в научно-издательском центре "Регулярная и хаотическая
динамика".)
200
Построение инвариантных кривых и множеств Мезера
Эти множества Мезера довольно сложны и могут быть представлены разрывными
функциями. Целью этой работы является описание альтернативной
конструкции, которая дает приближения канторовых множеств гладкими
кривыми, которые стремятся к канторовым множествам, когда параметр
аппроксимации стремится к нулю. Этот подход может оказаться полезным при
вычислениях численными методами, поскольку разрывы, мешающие при
вычислениях, при этом сглаживаются. Рассматриваемый подход основан на
регуляризированной вариационной задаче, упоминания о которой содержатся в
[3].
Наша цель состоит в том, чтобы более полно обсудить эту вариационную
задачу, у которой есть новая черта - неизвестная функция входит со
сдвинутым аргументом. В частности, мы обобщим теорию экстремальных полей
и функцию избытка Вейерштрасса. Кроме того, мы увидим, что
соответствующий функционал имеет в качестве экстремума только минимум, и
что решение уравнения Эйлера с соответствующим граничным условием
единственно с точностью до тривиального фазового сдвига.
В связи с этим в последнем разделе обсуждается результат в духе теории
возмущений. Он относится к теореме о существовании инвариантных кривых,
которые даются КАМ-теорией. Однако доказательство не использует обычно
употребляемые последовательные преобразования. Это фактически приводит к
более простому доказательству1 существования для инвариантных торов без
использования канонической теории преобразований.
§ 2. Множества Мезера
Мы ограничимся случаем цилиндра, который представим координатами (ж, у) 6
М2, отождествляя точки (ж, у), (ж', у), для которых ж' - ж - целое число.
Диффеоморфизм ip: М2 -> М2 задан следующим образом
'Р¦ (жо, 2/0) ->• (жь 2/1) = (/(жо, Уо), g(ж0, у0)), (1)
где /, g - (7°°-функции удовлетворяющие:
1 Результаты могут быть найдены в работе Д. Соломона и Е. Зендера (D.
Salamon
and Е. Zehnder, KAM-theory in configuration space, Comm. Math. Helv,
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed