КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
При т = 2 такие слоения соответствуют инвариантному тору гамильтоновой
системы с двумя степенями свободы в том виде, в котором они возникают в
теории устойчивости. Недавно изученные инвариантные множества Обри-Мезера
монотонных закручивающих отображений имеют в качестве аналога "ламинации"
тора.
Это исследование минимальных слоений, частично мотивированное теорией
динамических систем, сильно зависит от методов используемых при решении
вариационных задач и от теории нелинейных эллиптических дифференциальных
уравнений. Целью работы является обсуждение связи между механическими
задачами и многомерными вариационными задачами. В частности будет
получена теорема устойчивости для слоений с помощью обобщения теоремы об
инвариантных кривых на случай дифференциальных уравнений в частных
производных.
Особая благодарность В. Бангерту за его критические замечания и советы, а
также М. Струве и Е. Цендеру за работу по улучшению рукописи.
Глава 1
Основные сведения и постановка задач § 1. Минимальные слоения
а) Рассмотрим слоения коразмерности 1 на компактном многообразии М.
Ограничимся случаем тора М = Тт, т.к. для нас будет важно,
1J. Moser. Minimal foliation on a torus. Topics in calculus of variations
(Montecatini Terme, 1987), 62-99, Lecture Notes in Math., 1365, Springer,
Berlin, 1989. (Перевод выполнен в научно-издательском центре "Регулярная
и хаотическая динамика".)
216
Минимальные слоения на торе
чтобы фундаментальная группа являлась коммутативной. Гладкое слоение
состоит из непрерывного однопараметрического семейства гладких
гиперповерхностей, однократно покрывающих М. Такие гиперповерхности
называются листами слоения. Локально эти листы могут быть представлены
как поверхности уровня гладкой функции без критических точек. Для т = 2
эти листы являются кривыми, которые могут рассматриваться как фазовые
траектории векторного поля, или, более точно, как интегральные кривые
линейного поля, т. к. эти кривые обычно не допускают совместной
ориентации. Это поясняется на примере линий уровня функции
eXl 8т2(7гж2) (1-1)
на двумерном торе Т2 = M2/Z2.
Слоение может рассматриваться как обобщение векторного поля, когда листы
соответствуют орбитам. Для коразмерности 1 слоение также может быть
описано полем нормалей. Листы могут быть компактными (как Х2 = 0 в
примере, указанном выше) или некомпактными. В первую очередь нас
интересует слоение с некомпактными листами. В качестве примера рассмотрим
семейство параллельных гиперплоскостей
т
avxv = const; а = (ад, ... , ат) ф 0. (1-2)
v=l
Они задают слоение Т% на Тш. Оно состоит из компактных листов (торов
меньшей размерности), тогда и только тогда, когда а кратно рациональному
вектору. С другой стороны, каждый лист является плотным на Тт тогда и
только тогда, когда прямая N = {Аа; A g 1} перпендикулярная к слоению, не
пересекается ни с одним узлом решетки, кроме (0), т. е.
N П Ът = (0).
(1.3)
Глава 1
217
Для т = 2 это утверждение равнозначно следующему факту. На торе Т2 =
M2/Z2 линия aiXi + = 0 соответствует плотной кривой
на Т2 тогда и только тогда, когда ее наклон - ^ иррационален и
соответствует окружности тогда и только тогда, когда ее наклон рационален
(или равен бесконечности).
б) Назовем слоение минимальным относительно вариационной задачи, если
каждый лист минимизирует эту вариационную задачу, когда рассматривается в
накрывающем пространстве Мт. Например, если функционал определен как (т -
1)-мерная площадь листа по метрике
ТП
ds2 = Y gvfl(w) dxv dx^, (1.4)
IS, fJ= 1
где gvfl(x + j) = gvn(x) для всех j ? Zm, тогда листы будут минимальными
поверхностями в Мт. Ясно, что для плоской метрики
ТП
ds0 = YdxV
v=l
все аффинные гиперплоскости являются минимальными поверхностями, и
поэтому семейство Т%, заданное выражением (1.2), является примером
минимального слоения относительно пространственного функционала ds2.
Существуют ли такие минимальные слоения относительно другой метрики ds2?
Сейчас мы приведем результат, поясняющий типичный феномен, который будет
обсуждаться в дальнейшем. Для этого назовем слоение То, минимальное
относительно пространственного функционала dsg, устойчивым, если для
любой близкой метрики ds2 (близкой в С'°°-топологии) существует слоение
Т, которое в свою очередь минимально относительно ds2 и диффеоморфно Т°.
Это значит, что существует гладкий диффеоморфизм ф (близкий к
тождественному) тора Тш, преобразующий листы Т° в листы Т.
Существуют ли устойчивые слоения? Можно легко убедиться, что семейство
минимальных подторов, скажем xm = const, при возмущении метрики переходит
в семейство, состоящее лишь из конечного числа таких торов. Это
показывает, что слоение (1.2) с а = (0, 0, ... , 0, 1) будет
неустойчивым. С другой стороны, если листы (1.2) плотные, то
218
Минимальные слоения на торе
устойчивость более вероятна. Усилим условие (1.3) и потребуем, чтобы
нормаль N не проходила "слишком близко" к решетке Zm, введя диофантово
