КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
конечно же, любая минималь является экстремалью. В самом деле, для п = 1
очевидно, что любая экстремаль с сопряженными точками не является
минималью. В целом, множество минималей образует подмножество множества
экстремалей. Однако, для слоений это различие между экстремалями и
минималями исчезает.
Мы не станем приводить полного доказательства этого утверждения,
обосновывающего нашу терминологию, о том, что "экстремальное" слоение
автоматически является минимальным слоением. Однако мы укажем идею
доказательства: если и = и(х, Ао) является листом экстремального, но не
минимального слоения, то существует шар В С и v € fl'1,2(Rn) такой, что v
= и вне В и
В в
222 Минимальные слоения на торе
Можно считать, что v является минималью правого интеграла с граничным
условием v = и на дВ. Таким образом, v удовлетворяет уравнению Эйлера в
В. Так как v ф и в В, то
тах(г>(ж) - и(х, Ао)) > 0 либо тт(г>(ж) - и(х, Ао)) < 0.
х€.В х€.В
Предположим, что выполнено первое неравенство, и рассмотрим функцию
/х(А) = тах(г>(ж) - и(х, А)),
х€.В
которая при А ->¦ +ос стремится к -ос, следовательно, принимает значение
0 для некоторого А = А* > Ао- Из этого следует, что v(x) ^ ^ и(х, А*) для
всех х Е В с равенством в некоторой внутренней точке В. Другими словами,
и(х, А*) - v(x) принимает свое минимальное значение, а именно 0, в
некоторой внутренней точке В. Так как эта разность удовлетворяет
эллиптическому дифференциальному уравнению в частных производных, то это
утверждение противоречит принципу максимума.
Таким образом, листы минимального слоения всегда являются ми-нималями, в
смысле определения 1.3. Листы слоения имеют другое, очень важное для нас,
свойство, а именно, у них нет самопересечения на торе. Для слоения в
накрывающем пространстве это означает следующее: если xn+i = и(х)
является листом 2п+1-инвариантного слоения, тогда таким же является лист
полученный из него переносом
Хп+1 + jn+1 =u(x+j), j е ъп.
Будем говорить, что и не имеет самопересечений на Тп+1, если для каждого
фиксированного (j, jn+1) € Zn+1
u(x + j) - jn+1 - u(x)
не меняет знак, т. е. если для всех ж ? 1" выполнено
и(х + j) - jn+i - и(х) > 0 или =0 или <0. (1-12)
Случай, когда эта разность больше либо равна 0 и где-то равна нулю,
исключается по принципу максимума, поскольку тогда разность тождественно
равна нулю. Таким образом, и не имеет самопересечений (на Тп+1) тогда и
только тогда, когда множество переносов
tju := и(х + j) - jn+1; j € Zn+1
вполне упорядочено.
Глава 1
223
Для дальнейшего, запомним: листы минимального слоения а) минимальны, в
смысле (1.11) и б) не имеют самопересечений, в смысле (1.12).
§ 2. Задачи, явления, мотивировки
а) В этом разделе мы увидим, что можно установить связь между
произвольным минимальным слоением и асимптотическим нормальным вектором а
также, как в первом примере. Так как мы ограничиваемся слоениями, листы
которых являются графиками, последняя компонента этого вектора не равна 0
и с помощью нормировки может быть сделана равной -1, т. е.
а = (аг, ... , ап, -1); а = (ах, ... , ап).
Вектор а ? I" будем называть вектор наклона. Тривиальный пример
минимального слоения для
J и2х dx
задается выражением
хп+х - (а, х) = const. (2.1)
В дальнейшем мы увидим, что для любого минимального слоения, листы
которого являются графиками хп+х = и(х), существует единственный вектор
наклона пёМ" такой, что
sup |и(х) - (а, х)\ <ос. (2.2)
X
Этот вектор не зависит от индивидуального листа и определяется
вышеприведенным условием.
б) Таким образом, любое из рассматриваемых минимальных слоений имеет
вектор наклона а € Мга. Возникает несколько вопросов:
1) Дана вариационная задача (1.7), можно ли найти для произвольного
вектора наклона а соответствующее минимальное слоение?
2) Устойчивы ли такие слоения относительно возмущения подынтегрального
выражения F вариационной задачи?
Оказывается, что ответ уже на первый вопрос отрицателен. Однако, если
понятие обобщено правильно, ответ будет положительным. Для каждого а ?
существует минимальная "ламинация". Она может рассматриваться как слоение
определенного подмножества на торе.
224
Минимальные слоения на торе
Это подмножество является канторовым множеством (или всем тором), и
однозначно связанно с F и а. Отсюда возникает вопрос: при каких
обстоятельствах существуют слоения, покрывающие весь тор и когда
появляется ламинация на канторовом множестве?
Опишем минимальное слоение с помощью определенной функции, которая должна
удовлетворять нелинейному дифференциальному уравнению в частных
производных (см. главу 4). Гладкое решение этих уравнений будет
соответствовать гладкому слоению, а "ламинация" (которая еще не
определена) - слабому решению с разрывами.
И, наконец, нас интересует, каким образом такие обобщенные слоения
зависят от параметров. Например, рассмотрим
F(x, щ их) = ±К|2 + АУ(ж, и)(1 + К|2)1/2 (2.3)
с гладким У (ж, xn+i) периода 1 по всем переменным. Если а = (а, - 1)
