Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
собственным значением уравнения (см. § 2)
L<j> = 0.
§ 4. Решение уравнения fV2 + fe2) ф = F(x, у, я) Уравнение
(V2 + А2) ф = Р (х, у, z) (6.29)
представляет собой частный случай уравнения, рассмотренного нами в
предыдущем параграфе; оно совпадает С ним при V (г) = 0. В этом случае
5 (г, 0) = е"*,
л, следовательно, согласно (6.28), асимптотическая форма решения ф есть
ф ~ ^ г-1 е{*г ^ ^ ^ e~ikn T' F (ж', у', z') dx' dy' dz', (6.30)
где n - единичный вектор направления 0, у, так что п . г' = r' [cos 0 cos
0' -f sin 0 sin 0' cos (cp - <p')].
Решение ф имеет вид
ф=^ 5 5к (г>г')F у'>z')dx'dyf dz>'
1) См. уравнение (2.16). Асимптотическая форма % имеет вид
eik* + r-i /(0)е='л>-.
§ 4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ, (&" + №)y,=F(x,v,z)
145
где
к 1 ехр (1*1 г-г'|)
4* | г - г' |
Это может быть доказано с помощью уравнения (6.27), а также и
непосредственно.
Воспользуемся теоремой [3], согласно которой для двух конечных и дважды
дифференцируемых функций х, у, z и любого объема 2, ограниченного
некоторой замкнутой поверхностью Е, имеет место соотношение
\ ^2g-g^2f)dxdydz. (6.31)
? в
Здесь д/дп означает дифференцирование по внешней нормали к элементу
поверхности; в левой части равенства интегрирование производится по
поверхности Е, ограничивающей объем 2, в правой части .интеграл берется
по объему 2. Воспользуемся этой теоремой, заменив функцию / решением ф
уравнения (6.29), удовлетворяющим граничным условиям. В качестве
независимой переменной выберем г'; таким образом / = ф(/¦'); Вместо g
подставим значение К (г, г'), рассматривая его как функцию от г' при
постоянном г. В качестве объема 2 мы рассмотрим объем, заключенный между
двумя сферами (% и о)2. центр которых находится в точке г. Обозначим
радиусы сфер и ш2 соответственно через р! и р2 и рассмотрим предельный
переход при р1-"оо и р2 ->0. Точка г = г', в которой к имеет полюс, будет
находиться при этом вне объема 2.
В результате получим
\(^(tm)-K?QdS' = ^ W*K-KV4)dz'dy'dz'. (6.32)
Для всех точек внутри объема 2 имеем
V2Z= - к2К,
V2<j>= -k^ + F(x',yr, z').
Отсюда правую часть уравнения (6.32) можно представить в виде
(г, г')F(x', у', z') dx' dyf dz'. (6.33)
Интеграл в левой части уравнения (6.32) может быть разбит на две части:
на интеграл по внешней поверхности сферы и интеграл по внутренней
поверхности сферы to2- Воспользовавшись асимптотическими значениями фи К,
легко показать, что при возрастании радиуса сферы <% до бесконечности
первый из этих интегралов стремится к нулю. Интеграл
^ K^dS'
CL) 9
н. Мотт и Г. Мееси
146 ГЛ. VI. НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
стремится к нулю по мере того, как радиус сферы и>2 убывает до нуля; так
как, однако, К имеет полюс в центре сферы, то при <й2 В
<г> 5 dS' ^ -
Ш2 ">2
Сопоставляя это выражение с интегралом (6.33), находим ф(г)=Щ#(г,
r')F(x'> У'' z')dx'dy'dz', что и требовалось доказать.
ЛИТЕРАТУРА
1. Курант и Гильберт, Методы математической физики, ч. II,
М.-Л., 1951.
2. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, М.-Л.,
3. Jeans, Electricity and Magnetism, Cambridge, 1933,
Глава VII
РАССЕЯНИЕ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ (ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ; РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ)
§ 1. Приближение Борна
В настоящей главе мы, как и в гл. II, рассмотрим вопрос о рассеянии пучка
частиц заданным силовым полем V (г)\ в этом параграфе мы получим
приближенную формулу, справедливую только для быстрых частиц; вывод этой
формулы окажется значительно более простым, нежели вывод точной формулы
(2.17). Мы будем решать волновое уравнение
V*<]" + [Л*-^ (!¦)]<]" = О, (7.1)
где
, 2 _ 8*2 тоЯ тт(г\_ 8*2тГ(г)
- Л2 ' ' ' Л2 '
а функция <]> должна иметь асимптотическую форму
ty^eikz + r-leikrf(Q). (7.2)
Воспользуемся теоремой, доказанной нами в гл. IV, § 4, согласно которой
наиболее общее конечное решение уравнения
Щ + Щ = Р(х, у, z), где F (х, у, z) - F (г) - некоторая известная
функция, имеет вид ф = С(*, у,
причем G является общим решением уравнения
V2G + fc2G = 0.
Отсюда следует, что общее решение <]> уравнения (7.1) должно
удовлетворять интегральному уравнению
ф = G - 5 5 е*Р |г-Гг~Г' D U W Ф (г'> *'* (7-3>
Выражение, стоящее в правой части этого уравнения, характе-
ризует расходящуюся волну; для того чтобы функция ф могла иметь
асимптотическую форму (7.2), мы должны, следовательно, положить
G = eikz.
10*
148
ГЛ. VII. РАССЕЯНИЕ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
Для определения / (6) воспользуемся асимптотической формой выражения
(7.3) при больших г. Обозначая через п единичный вектор направления г
n = (sin 6 cos <р, sin 6 sin <р, cos 6),
имеем
I
I г - г' I ~ г - п • г' + Члены порядка -,
I I ^
и, следовательно,
ф .-, eiiz -/-1 ^ e~ik п ¦ *'U (г') ф(г') dx'. (7.4)
Формулы (7.3) и (7.4) являются точными. Интересно отметить, что
рассеянная волна имеет такой вид, как если бы каждый элемент объема
рассеивал шаровую волну с амплитудой, численное значение которой на
единице расстояния равно произведению- mh~2 V (г) dx на величину
амплитуды падающей волны в данной точке [1].
