Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
означает здесь также и интегрирование по непрерывной области значений ( -
'In положительно). Дискретных значений может даже вовсе не существовать.
Подставляя функции (6.16) в уравнение (6.12), умножая последнее на и
интегрируя по всем значениям х, получаем
К = ап (Yn - Y3)'1-Если у есть одно из собственных значений, например
у,", то решение, обращающееся в нуль при я = 0 и при х = об, существует
только при условии ат = 0, т. е. только в том случае, если
ОО
^ F (x)i>m(x)dx = 0. о
Это условие эквивалентно условию (6.15).
Интегральное уравнение, определяющее фазу. Исследуем уравнение (2.12):
(6Л8>
При решении задач теории рассеяния, рассмотренных нами в гл. II, нас
интересовало собственное решение Gv этого уравнения, имеющее
асимптотическую форму
Gp~ in{2n-{-1) A_1sin ^ кг - rnt^ +ceikr. (6.19)
Было показано, что множитель с дается выражением
" (2п ¦+¦ 1) (e2irln - 1)
с---------27* '
если собственное решение имеет асимптотический вид Gp ~ in (2п + 1) A-1
eir>n sin Qtr - ш -f- .
Если мы перепишем уравнение (6.18) в форме
~+ G = U(r)G,
то из (6.11) следует, что
Gp ~ г'я (2п + 1) к~1 sin Qcr - у -
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 141
Здесь @ есть решение уравнения
+[*_!&+!>] О, =0,
обращающееся в нуль в начале координат и обладающее асимптотической
формой т. е.
1/2
(r)-(1)
Сопоставляя (6.20) с (6.19), получаем
ОО
(е2")" _ 1) в _ ещп ^ Qtfi (г) G dr,
где
G (г) ~ sin Qcr - у ш + fin ^ .
Это приводит к интегральному уравнению
1/2 оо 1/2
sin 7j" = - (-^ як) / . (кг) U (г) G (г) dr.
о П+Т
Это уравнение будет использовано нами в гл. VII, § 6. Приближенная
формула (2.27), определяющая т]п,' получается в результате замены функции
G (г) функцией (c) (г) при малых значениях U (г).
§ 3. Дифференциальные уравнения в частных производных
В этом параграфе положение точки в трехмерном пространстве мы будем
определять ее декартовыми координатами х, у, z, или сферическими
координатами г, 6, <р, или вектором г. Обозначим через L оператор
L - V2 + № - U (г),
где U (г) - функция, для которой rU (г) -> 0 при г ->оо. Пусть F (х, у,
z) есть функция, для которой rF0 при г->оо. Пашей задачей является
отыскание решения ф уравнения
Еф = Е (х, у, z), (6.21)
удовлетворяющего следующим граничным условиям:
Функция ф конечна во всех точках пространства:
' /0 22)
ф~т-1 elbr / (9cf) при больших значениях г, где /(0tp) - некоторая
функция, подлежащая определению.
142 ГЛ. VI. НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Разложим функции <J> и F в ряд по шаровым функциям. Запишем
Рп (cos 6) == sin"16 ^-cos 6)ОТ Рп (cos 6) (т> 0)
и воспользуемся тем, что
пт п-т
*п - *п •
Положим, далее,
оо т =+п
F(x,y,z) = 2 2 Ап (г)Р"т(С08в)^?.
п=0 т=-п
Искомое решение <]> представим в виде
ф (ж, = (г) Р(tm) (cos 6) eimC (6.23)
n m
Подставив эти выражения в уравнение (6.21), умножив последнее на
Р(tm) (cos 0) e~imf sin 0 db dy и проинтегрировав по 0 и <р по поверхности
сферы, получим
(6-24>
Полагая, далее,
Вт = г~* Ьт,
П П '
получим
^bZ + (k*-U(r) -^±1)^ = rA^{r),
т. е. уравнение того же типа, что и уравнения, рассмотренные нами выше в
§ 1 и 2. Согласно (6.14), решение уравнения (6.24), удовлетворяющее
требуемым граничным условиям, есть
СО
В" = -кЬп (г) \ Нп (г) А(tm) (г)г* dr-
Г
Г
- кНп (г) ^ Ln (г) А(tm) (г) гг dr. (6.25)
о
Г
Здесь Ln и IIп - решения уравнения
причем Ln конечно в начале координат и нормировано таким
5 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 143:
образом, что его асимптотическая форма1) имела вид
Ьп (кг)-1 sin (кг - у + 7)п^) ,
а Нп имеет асимптотическую форму
Нп ~ (кг)-1 ехр [г (jir - (tm) + г1п^ ] .
Выражения (6.23) и (6.25) определяют искомое решение уравнения (6.21).
Во многих случаях удобно представить это решение в виде интеграла:
ф= ^ ^ ^ К (г, r')F(x', у', z')dx' dy' dz'. (6.26),
Полагая
СО
-^%(2п + 1)Ьп(г)Нп(г')Рп(созв) (rf>r),
п= О
оо
К = - й 2 (2га+4)н* и L" (Ор"(cos в) (^ >'О.
п=0
где
cos в = cos 6 cos б' + sin б sin 6' cos (<р - ф')>
легко показать, что функция (6.26) является искомым решением-
Действительно [2],
2п к
^ dtp ^ sin б db Рп (cos 0) Р(tm) (cos б) eimv = о о
=^ттрп (cos6')eimr- (6-27)
Отсюда следует непосредственно, что функция (6.26) эквивалентна решению,
определяемому выражениями (6.23) и (6.25).
Асимптотическая форма решения. При больших значениях г и заданном г'
имеем
оо 1 . .
Л -- гптс+гт}л
K(r,T')^-^r-1ei^Ji(2n + l)e 2 Ln(r')Pn( cos в).
л = О
х) См. гл. II, § 1. Условие конечности в начале координат определяет
значение у]п.
144 ГЛ. VI. НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
•Обозначив через % (г, 8) функцию *)
СО
g= 2 (2п+ 1) г" eilJn ?"(/¦).?" (cos 0),
n=0
получаем
К (r, г')~ -It - 0).
Решение ф имеет, таким образом, асимптотическую форму
¦ Ф-s'-1еШ55{г''*0)F(*''у''z'}dytdz>' (6,28)
при условии, что интеграл сходится.
Уравнение
Lty - F(x, у, z),
где
L = V2-Y2-i/(r), может быть решено аналогичным образом. Конечное решение
этого уравнения всегда может быть найдено, если только у *е является
