Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
так как эта вероятность обращается в нуль при значениях ij, близких к CD.
Мы должны интерпретировать | ф |2 dx2 dx2, как вероятность того, что одна
а-частица (любая из двух) находится в элементе объема dxj, а другая
частица - в элементе объема dx2. Ясно, что выражение (5.14) даст
правильное значение этой вероятности, если мы положим А равным единице1).
Мы сохраним такую интерпретацию для любой волновой функции ф (г1( г2),
описывающей состояние двух тождественных частиц. Отметим, что если эта
интерпретация имеет смысл, то 2 симметрично, т. е.
|Ф(Гъ Г2)2=|Ф(Г2> Гг) |2.
*) Это дает образом, к двум.
К'
ф |2 (2тг = 2. Волновые функции нормированы, таким
§ 4. СТОЛКНОВЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ОДИНАКОВЫМИ ЧАСТИЦАМИ 125
Существуют два способа построения волновой функции, обладающей этим
свойством в момент времени t = 0; две возможные волновые функции имеют
при этом следующий вид:
и (ri) v (г2) ± u(r2)v (гх).
Таким образом, согласно приведенным выше соображениям, следует
пользоваться либо симметричной, либо антисимметричной волновой функцией;
однако если бы не было известно, что для Не2 антисимметричные состояния в
природе не наблюдаются, то мы не знали бы, которую именно из этих функций
надлежит выбрать; в рамках волновой механики оказалось бы при этом
невозможным сделать какие-либо заключения относительно столкновений
рассматриваемого типа.
Конечно, такая интерпретация функции ф априори не является необходимой;
мы могли бы воспользоваться для момента времени t = 0 несимметричной
волновой функцией и (rx) v (г2) и рассматривать | ф |2 dxx dx2 как
вероятность нахождения одной из двух частиц в точке гх. В результате, как
уже было сказано выше, мы получили бы, однако, конечные значения
вероятности существования молекул в антисимметричных стационарных
состояниях, что в действительности не наблюдается.
Применение симметричной волновой функции дает иные значения вероятности
рассеяния, нежели применение несимметричных волновых функций. Если бы мы
воспользовались последними, то исходная волновая функция имела бы вид и
(rx) v (г2). Пусть ф (rx, г2, t) есть значение такой волновой функции
через промежуток времени t. Примем, что величина | ф (гх, r2,t)fdxxdx2
определяет вероятность того, что первая частица, находившаяся
первоначально в АВ, находится теперь в элементе объема (г1( dxx), а
вторая частица -в элементе объема (r2, dx2), тогда как I fa" rii t) |2<fa
dx2 определяет вероятность того, что частица, первоначально находившаяся
в АВ, находится в элементе объема (г2, dx2) и т. д. В таком случае
вероятность того, что одна из частиц находится в элементе объема (гх,
dxx), а вторая частица - в элементе объема (г2, dx2), определится
выражением вида [см. выражения (5.9)]
{1Ф fa, г2) |2 +1 ф (г2, гх) |2} dxx dx2. (5.15)
С другой стороны, если мы воспользуемся симметричной волновой функцией,
то исходная волновая функция будет иметь вид
И fa) У fa) + Ц (г2) У (Гх),
а волновая функция через промежуток времени t
Ф(Гх, г2, ") + ф (г2, Гх, г)- (5.16)
Вероятность нахождения одной из частиц в элементе объема
126
ГЛ. V. СТОЛКНОВЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЧАСТИЦАМИ
(гь dtj), а другой частицы - в элементе объема (r2, dz2) равна
при этом
I Ф (О, r2, t) + d) (r2, rlt t) |2 dzj dz2, (5.17)
т. е. определяется выражением вида
{ I 4" (Гп Г*) I2 + I (Г2, l'l) I2 + ф (Т1г г2) Ф* (г2, Гх) +
+ ф (г2> Гг) (Гц r2)} dz,, dz2. (5.18)
Мы видели, что применение симметричной волновой функции
(5.16) не дает возможности определить вероятность нахождения
в элементе объема dzt какой-либо определенной а-частицы, например той а-
частицы, которая находилась первоначально вблизи АВ. Если некоторая а-
частица наблюдена в данной точке, то, вообще говоря, не существует такого
опыта, с помощью которого можно было бы установить, та ли это а-частица,
которая находилась первоначально в АВ, или же какая-либо другая. Волновая
функция дает нам, таким образом, не больше сведений, нежели
экспериментальные данные. Установить, о какой именно из а-частиц идет
речь, можно было бы лишь в том случае, если бы траектория волнового
пакета, описывающего движение одной из а-частиц, нигде не пересекалась с
траекторией волнового пакета, описывающего движение второй а-частицы.
Осуществление такого рода опыта принципиально возможно для медленных а-
частиц (8ne2/hv >1).
На фиг. 16 заштрихованные участки представляют собой траектории двух
волновых пакетов. Ясно, что если некоторая частица наблюдена в точке Р,
то первоначально она должна была находиться в АВ. Отсюда следует, что
применение симметричной волновой функции дает нам в этом случае меньше
сведений, нежели экспериментальные данные. Применение несимме-
§ 4. СТОЛКНОВЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ОДИНАКОВЫМИ ЧАСТИЦАМИ 127
тричной волновой функции дало бы нам, однако, в этом случае те же
значения вероятности нахождения частицы, что и применение симметричной
волновой функции, так как член ф (гх, г2) ф* (г2, Г),) в выражении (5.15)
обращается в нуль при любых значениях гх и г2.
