Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
при изменении 0.
*) См. уравнение (5.19) и гл. Ill, § 1.
9 Н. Мотт и Г. Месси
130
ГЛ. V. СТОЛКНОВЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЧАСТИЦАМИ
Формула (5.23) была проверена экспериментально для случая рассеяния а-
частиц в гелии [8]. При этом применялись очень медленные а-частицы, так
как только в таком случае можно считать, что взаимодействие между ядрами
обратно пропорционально квадрату расстояния (см. гл. XIII, § 2).
§ 5. Столкновения между двумя одинаковыми частицами, обладающими спином
В предыдущем параграфе был рассмотрен вопрос о столкновениях между двумя
одинаковыми частицами, не обладающими спином и подчиняющимися статистике
Бозе-Эйнштейна. В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о столкновении
между такими частицами, которые, подобно электронам и протонам, обладают
спином, т. е. половиной кванта момента количества движения, и подчиняются
статистике Ферми-Дирака. Получаемые при этом, результаты легко могут быть
обобщены на случай частиц, обладающих любым квантованным значением
момента количества движения и подчиняющихся любой из двух статистик (см.
§ 6).
Вернемся к рассмотрению опыта, описанного нами в начале предыдущего
параграфа. Если частицы обладают спином, то волновая функция,
характеризующая состояние частицы, должна зависеть также и от спиновых
координат. Предположим, что частица, прошедшая через отверстие АВ,
обладает спином, направление которого характеризуется вектором 1, так что
волновая функция, описывающая движение этой частицы, имеет вид1)
и (г) Zi(*)-
Аналогично волновую функцию, описывающую движение второй частицы, запишем
в виде
е(*)Хп (*)•
Для описания столкновения мы должны воспользоваться антисимметричной
волновой функцией; волновая функция, характеризующая состояние системы до
столкновения, может быть определена 2) в виде
в (1) xi (1) о (2) (2) -в (2) Xl (2) е (1) (1).
Волновая функция, характеризующая состояние системы после столкновения,
имеет следующий вид:
Щтг, V, га, ва) = у, (1) хп (2) ф (1, 2) - х, (2) Х" (1) ф (2,1). (5.24)
При этом мы пренебрегли маловероятным изменением направления спинов.
Вероятность того, что в момент времени t одна
Э См. гл. IV, § 2, где дано определение функций /а и у^.
г) Цифра 1 соответствует rt или slt цифра 2-г2 или s2.
§ 5. СТОЛКНОВЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ОДИНАКОВЫМИ ЧАСТИЦАМИ 131
из частиц находится в элементе объема (Гц dii), определяется
соответственно выражением
si S2
Если 6 и срх) - полярные углы, характеризующие направление вектора 1, а
0', <р'- то же для вектора ге, то имеем
Выражение (5:26) может быть записано в следующем виде:
Для вычисления вероятности данного столкновения мы должны, таким образом,
использовать как волновые функции, симметричные по отношению к
пространственным координатам частиц, так и антисимметричные волновые
функции. Если вероятность, получаемая при применении симметричных
функций, есть Р&, а вероятность, получаемая при применении
антисимметричных
В См. гл. IV, § 2.
(5.25)
В В
7.1 (s) = - sin - j 7* (") + cos у e**xp(e).
Далее,
S
И
2 Xz (*) 7n (s) = sin j sin •у + cos у cos -y- ei
Вероятность (5.25) равна, таким образом,
| ф (1,2)|* + | ф (2,1)|*- [ф (2,1) ф* (1,2) + ф (1,2) Г (2,1)] X X ?
sin* у sin* -у- + cos2 у cos* у +
, о 8 0' . 0 . 0' .
+ 2 cos у cos у smy smy cos (ср - <р )],
что сводится к
|ф(1,2)|"+|ф(2,1)|*--I" [Ф (i,2) t2,1) + Ф (2Д) I** (1,2)]
(cose + l), (5.26)
где в - угол между направлениями спина,
cos в = 1 • п.
где
А | ф(1,2) + ф (2,1)|* + В | ф (1,2) - ф (2,1)|*, Л = у(1 - COS в), j5 =
y(3 + COS0).
9*
132 ГЛ. V. СТОЛКНОВЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЧАСТИЦАМИ
функций, есть Ра, то истинная вероятность равна
-i(l - cos0)Ps + i(3 + cos0) РА, (5.27)
где 0 - угол между направлениями спинов двух сталкивающихся частиц. Если
угол 0 неизвестен, т. е. если два сталкивающихся пучка частиц
неполяризованы, то выражение (5.27) должно быть усреднено по всем
значениям 0. Так как среднее значение cos в равно нулю, то вероятность
равна
^0Ps+3/>A). (5.28)
В качестве примера рассмотрим пучок эл ектронов, плотность которого
такова, что за единицу времени через единицу площади поперечного сечения
проходит один электрон. Предположим, что этот пучок электронов
сталкивается с отдельным неподвижным свободным электроном. Определим
вероятность того, что за единицу времени произойдет такое столкновение, в
результате котор ого одна из частиц после столкновения будет двигаться в
направлении, заключенном внутри телесного угла du> под углом 0 к
направлению движения падающего пучка. В этом случае [см. уравнение
(5.23)]
Ps = (cosec4 0+sec4 0 -f* 2Ф cosec2 6 sec2 6) 4 cos 6 (5.29a) и
аналогично
PA = -i-j (cosec4 0 + sec4 0 - 2Ф соьес2 0 sec2 0)4 cos 6, (5.296)
где
Ф = cos 1 n tg2 0^ ,
Вероятность определяется, таким образом, выражением (5.27), если
направления спинов известны, либо выражением (5.28), если направления
спинов неизвестны.
Отметим, что если спины направлены одинаково, то мы должны пользоваться
только антисимметричным решением. Отсюда следует, что рассеяние
