Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
определяет вероятность нахождения протона в элементе объема dxp и
электрона в элементе объема dхев один и тот же момент времени t.
Волновая функция О удовлетворяет уравнению Шредингера
(*•")
Здесь
Ц2 _ _?1 _L il _L ¦
' P .,2 1 "2 ' a 2 !
dxp dyv dzp
mp и me - соответственно масса протона и электрона, V (гр, ге) - значение
потенциальной энергии взаимодействия протона и электрона, если протон
находится в точке гр, а электрон - в точке ге.
В качестве примера найдем решение уравнения (5.1), описывающее движение
атома водорода в отсутствие внешних сил. В этом случае потенциальная
энергия взаимодействия равна
У (гр, г,)=- llpe_lA •
Как и в классической механике, переменные при этом разделяются и
оказывается возможным выделить движение .^центра тяжести системы. Положим
(тр -|- те) R = ШрГр + теге,
г = гр -ге, (5.2)
где R определяет положение центра тяжести, а г - радиус-вектор,
соединяющий рассматриваемые частицы. Оператор
может быть преобразован к следующему виду [1]г):
А2 _2 , А2 _2 8n2Af й~>" 8п.2т* vr.
где
М - m.p + me,
трте
*) См. также книгу Френкеля [2]. (Прим. ред.)
8*
116
ГЛ. V. СТОЛКНОВЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЧАСТИЦАМИ
Волновое уравнение (5.1) принимает и]
= + - Ф. (5.31
2 'X dt 8к2Л/ ' 8тс2/га* • /• ' ' '
В этом уравнении переменные разделяются, его решение может быть записано
в форме
/о (г, t)g0{R, t). (5.4)
Подставляя функцию (5.4) в уравнение (5.3), получаем два уравнения *
'h */. № г-2 j I j , и
2л dt 8п2т* 'O'* г 10 + л1о>
_ iA agv, V2 _ ,
2* df 8^2Л* "° ёо'
где А - постоянная. Подстановка
, , /¦ . 2^г^4{\
/о = / ехр ^ J ,
/¦ 2'пгЛ.г'\
g0 = gexp(^---------j- J
приводит к уравнениям
^¦2/+v/> <5-5)
(5.6)
Мы можем, таким образом, положить ty - fg, где функции fug удовлетворяют
соответственно уравнениям (5.5) и (5.6).
Уравнение (5.6) представляет собой волновое уравнение для свободной
частицы массы М; решение g (R, t) описывает движение центра тяжести
атома. Искомое частное решение зависит от условий рассматриваемого опыта.
Если, например, волновая функция Ф описывает состояние пучка атомов, то
функция g представляет собой волновую функцию для пучка частиц,
определенную нами в гл. I, § 4. Если положение и скорость атома известны
приближенно,-с точностью, допускаемой соотношениями неопределенности, -
то функция g характеризует волновой пакет, рассмотренный нами в гл. I, §
9.
Уравнение (5.5) представляет собой волновое уравнение, описывающее
движение частицы с массой т* и зарядом е в поле данного неподвижного
ядра. Если мы хотим описать нормальное состояние атома водорода, то
функция / должна быть первым характеристическим решением этого уравнения.
§ 3. ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ 117
§ 3. Теория взаимодействия двух одинаковых частиц
В этом параграфе излагается обычная теория стационарных состояний систем,
содержащих две одинаковые частицы.
Предположим сперва, что частицы не обладают спином. В таком случае каждая
из частиц имеет только три степени свободы1) и состояние такой частицы
полностью определяется заданием ее положения в пространстве. (Для
электрона необходимо, кроме того, задать направление его магнитного
момента.) Примерами частиц такого рода являются, как это будет показано
ниже, ядра гелия (а-частицы) и ядра углерода.
Прежде чем рассматривать вопрос о столкновениях, мы должны вспомнить о
некоторых свойствах стационарных состояний, возможных для молекул (Не2,
С2Н2 и т. д.), содержащих две таких частицы. При определении значений
энергии, возможных для этих молекул, мы поступаем следующим образом.
Рассмотрим, например, молекулу гелия Не2. Обозначим через и К2 координаты
двух ядер, а через rx, r2, г3 и г4 - координаты электронов. Уравнение
Шредингера, характеризующее состояние системы, имеет в этом случае вид
(Н-Е)Ь = 0, (5.7)
где ф зависит от координат шести частиц, а Н - обычный оператор энергии.
Как хорошо известно, конечные решения <!> могут быть найдены только для
определенного ряда так называемых "собственных" значений энергии Е:
Е0, Ei, Е2, ....
Можно было бы ожидать, что всем этим значениям Е соответствуют возможные
стационарные состояния молекулы. В действительности, однако, в природе,
т. е. при исследовании полосатых спектров молекул [3]2), наблюдается
только половина
г) Мы не утверждаем тем самым, что а-частица или ядро атома углерода в
действительности обладают только тремя степенями свободы, т. е. что они
не представляют собой сложных систем, которые могут быть разложены на
составные части. Мы подразумеваем под этим лишь то обстоятельство,'что
вероятность нахождения этих ядер в каком-либо стационарном состоянии,
отличном от нормального, чрезвычайно мала, а также, что нормальное
состояние не вырождено; в таком случае, если ядро находится в состоянии
покоя в свободном от сил пространстве, то для описания его состояния
оказывается достаточным введения трех координат.
При рассмотрении столкновений между атомами, движущимися с тепловыми
