Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
отсюда следует, что две частицы не могут находиться в одном и том же
состоянии.
122
ГЛ. V. СТОЛКНОВЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЧАСТИЦАМИ
Переставляя координаты 1 и 2 в уравнении (5.8), получаем \Н (2, 1) - Е] ф
(2, 1) = 0. (5.9)
Так как Н симметрично по отношению к 'координатам частиц, то Н(2, 1)
равно Н( 1, 2). В связи с этим имеем
[Я(1, 2)-?]ф(2, 1)=0. (5.10)
Отсюда следует, что ф (2, 1) является решением уравнения (5.8). Но так
как (1, 2) представляет собой единственное решение этого уравнения,
конечное во всех точках пространства, мы должны положить
ф(2, 1) -А^ (1,2), где А - некоторая постоянная. Ясно, однако, что
55 [4(1, 2)]2 ^=55 [ф (2, 1 )fd4d4
и что ни один из этих интегралов не обращается в нуль.
Отсюда следует, что
А2 = 1.
Так как все величины, входящие в эти уравнения, вещественны, получаем
А=±1,
что и требовалось доказать1). Следует подчеркнуть, что это доказательство
относится лишь к невырожденным состояниям. Состояния с неквантованной
(положительной) энергией всегда, однако, вырождены. К таким состояниям
эта теория неприменима.
Общая теория некомбииирующихся состояний дана в книге Дирака [4].
§ 4. Столкновения между двумя одинаковыми частицами, не обладающими
спином
Предположим сперва, что частицы не обладают спином (а-ча-стицы).
Представим себе опыт, схема которого изображена на фиг. 15. На экран АВ
падают а-чаетицы, движущиеся со скоростью v, а а-частицы, движущиеся с
равной, но противоположной скоростью, падают на экран CD. Отверстия в
экранах открываются и снова закрываются, пропуская а-частицы, не
обязательно в один и тот же момент времени. Введем в рассмотрение
волновые функции
в(г, I), и (г, t),
х) Приведенный здесь вывод является не совсем правильным ввиду наличия
"перестановочного" вырождения [2]. (Прим. ред.)
§ 4. СТОЛКНОВЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ОДИНАКОВЫМИ ЧАСТИЦАМИ 123
нормированные к единицех). Стоящая перед нами задача заключается в
определении волновой функции системы в момент времени t после
столкновения. Простейший способ ее решения заключался бы в приписашш
частицам координат гх и г2, где rt - координата частицы, прошедшей через
отверстие АВ, и т. д. В таком случае до столкновения искомая волновая
функция имела бы следующий вид:
"(ri> I) v (r2, I), (5.11)
а после столкновения волновая функция (rl7 r2, t) определялась бы с
помощью волнового уравнения типа (5.1) и начального
А с
В D
Фиг. 15.
условия (5.11). Для физической интерпретации волновом функции следовало
бы принять, что \<b (rl; r2, t)\2 dxtdx2 определяет вероятность
нахождения первой а-частицы в элементе объема (гх, dij)2) и второй а-
частицы в элементе объема (r2, dx2) в момент времени t. Вероятность
нахождения одной из двух рассматриваемых частиц в элементе объема (г,,
dxj, а другой частицы - в (r2, dx2) определилась бы при этом следующим
выражением:
{[<Mri> г2)|2 + |ф(г2, гД |2} dxt dx2 (5.12)
(t здесь опущено).
Этот метод решения задачи, однако, неверен. Действительно,
воспользовавшись в качестве исходной волновой функции функцией (5.11) и
предполагая присутствие электронов, мы получим конечную вероятность
образования молекулы и, более того, конечную вероятность осуществления
любого из математически возможных стационарных состояний. Это
противоречит, однако, опытным данным; мы знаем, что у Не2 наблюдаются
только такие стационарные состояния, волновые функции которых симме-
х) Это значит, что ^ | и (г, {)|2йт=1.
2) Под (г, dz) мы подразумеваем элемент объема dx, расположенный в точке
г.
124
ГЛ. V. СТОЛКНОВЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЧАСТИЦАМИ
тричны по отношению к координатам ядер. Мы знаем также, что если волновая
функция была вначале симметричной, то она должна оставаться симметричной
все $ремя. Согласие с опытными данными может быть поэтому получено только
в том случае, если наша исходная волновая функция будет симметричной по
отношению к координатам обеих а-частиц.
Единственный способ построения симметричной функции из волновых пакетов и
и г; заключается в том, чтобы полошить исходную волновую функцию равной
ФОд" г2) = А[в(г1)о (r2)+M(r2) w(r1)], (5,13)
где А -некоторая постоянная. Выясним физический смысл этой волновой
функции.
Первоначально, согласно предположению, волновые пакеты не налагались друг
на друга, откуда следует, что для любого значения гь при котором и (гх)
конечно, о (г^ обращается в нуль. Таким образом, в момент времени t = О
Воспользовавшись функцией (5.13), имеем
! Ф (гь г2) |2 = А21 и (гг) о (г2) |2 + А21 и (г2) v (тг) |2. (5.14)
Функция и обращается в нуль во всех точках пространства, за исключением
области, расположенной вблизи отверстия АВ, а функция v равна нулю во
всех точках пространства, за исключением области вблизи отверстия CD.
Величина |ф|2 отлична, таким образом, от нуля только при значениях т1г
близких к АВ, и значениях г2, близких к CD, или наоборот. Мы не можем
поэтому рассматривать | как вероятность того, что части-
ца, наблюденная вблизи АВ, находится в элементе объема (г,, dxj) и т. д.,
