Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Выражение (6.7) представляет собой искомое решение, содержащее две
произвольные постоянные аир.
Для решения задач, рассматриваемых в данной главе, наиболее пригодным
является первый метод.
(6.3)
АГ^ = 1 (пРи любых х)-
(6.4)
X
Ь
W = фх (х) ^ ty2F dx -j- <1>2 (х) ^ dx
(6.5)
а
х
ЧГ = фС,
получим
= F.
Отсюда следует, что
X
А
и, следовательно
X X'
у = Ф (*) 5 и" {х')]-* dx' 5 F {х") <j> (ас*) dx". (6.7)
9
§ 2. РЕШЕНИЕ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЕ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЯМ 137
§ 2. Решение, удовлетворяющее граничным условиям
В этом параграфе мы покажем, как может быть найдено решение уравнения
g- + QW = F(x),
удовлетворяющее определенным граничным условиям. Предположим, что функции
Q и F удовлетворяют следующим условиям: F (х) -" О при х -" оо,
причем функция F (х) ограничена и дифференцируема во всей области 0<а;<
оо, за исключением точки х = 0, где она может иметь полюс порядка х~г;
далее,
Q(x) = A-U(x), где А - постоянная, a U-некоторая функция, для которой xU
(х) -" 0 при х -" оо,
при этом функция U (х) ограничена и дифференцируема во всей области, за
исключением точки х - 0, где она может иметь полюс типа п (п + 1)/я2 (п -
положительное целое число или же нуль).
Наложим на функцию ? два граничных условия.
1. В точке i = 0 f должно обращаться в нуль. Из характеристического
уравнения следует, что вблизи х = 0 одно из решений будет вести себя, как
xn+i, а другое -как х~п; вначале координат одно из решений будет, таким
образом, обращаться в нулк.
2. Второе граничное условие зависит от знака постоянной А. Если А
положительно, мы запишем
А = №
и выберем ? так, чтобы
? ~ const • eikx.
Если А отрицательно, мы выберем функцию ? таким образом, чтобы она была
ограничена при х-> оо. Мы увидим в дальнейшем, что эти два условия
полностью определяют ? и что найти решение ?, удовлетворяющее этим
условиям, оказывается возможным при всех значениях А, за исключением
одного частного случая.
Рассмотрим сперва тот случай, когда А положительно. Наше уравнение
приобретает при этом вид
!(tm) + [k*-U(x)]W = F(x). (6.8).
Пусть Фх есть решение уравнения
g + [ft*-"7(*)H = 0, (6.9>
обращающееся в нуль в начале координат.
138 ГЛ. VI. НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предположим, что фх нормировано так, что (см. гл. П, § 1)
<J>1'^'Sin(Aa: + ri) (х велико).
Обозначим через ф2 решение уравнения (6.9), для которого
ф2 ^ к~г ехр [г (кх ij)] (х велико).
При всех значениях х функции ф2 и фг удовлетворяют соотношению
Отсюда следует, что функция (6.5) является общим решением уравнения
(6.8). Решение, обращающееся в нуль в начале координат, есть, очевидно,
X X
!¦ = (]>!(ж)^ ф2Fdx - ф2(х) ^ ^Fdx. (6.10)
а 0
При х-> оо оба интеграла сходятся; положив а = оо, мы получим решение,
обладающее требуемой формой при больших значениях х:
СО
gr ^ _?-V**+il1 ^ фх F dx. (6.11)
о
Искомое решение всегда может быть, таким образом, найдено, "ели интегралы
ОО
^ F (х) e±ifc* dx о
сходятся.
Рассмотрим теперь тот случай, когда А отрицательно. Положим
A=-f.
Мы должны найти решение уравнения
g:+["Y2_^(a;)]?==jp(a;) (6Л2)
при условии, что функция 'F обращается в нуль в начале координат и
остается конечной при х= со.
Пусть попрежнему фх есть решение уравнения
?!+[-уа-^(*)]ф=о, (6.13)
обращающееся в нуль в начале координат. В общем случае
"то решение при соответствующей нормировке будет вести себя
при больших значениях х, как е']Х. Только при некоторых опре-
§ 2. РЕШЕНИЕ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЕ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЯМ 139
деленных (так называемых собственных) значениях у функция ф будет иметь
асимптотическую форму е~^х.
Если у не является одним из собственных значений, то решение уравнения
(6.12) может быть найдено следующим образом. Обозначим через ф2 решение
уравнения (6.13), имеющее асимптотический вид
Тогда искомое решение уравнения (6.12) может быть записано в форме
Оно стремится к нулю при возрастании х до бесконечности, если при этом
F(x)-> 0.
Если у принимает одно из собственных значений, то решение ф1(
обращающееся в нуль в начале координат, имеет асимптотический вид в
качестве <1>2 мы должны при этом выбрать
решение, ведущее себя, как Y_1eTx. Решение уравнения (6.12), обращающееся
в нуль в начале координат, тогда будет
Можно показать, что первый член этого выражения конечен, так как F>0 при
х оо; мы можем, таким образом, получить конечное решение в том, и только
в том, случае, если
Второй метод, с помощью которого может быть найдено решение уравнения
(6.12), есть обычный метод, применяющийся в теории возмущений. Положим
ф2~
X
X
? = 5 bFd* - b • 1(6-14)
оо 0
X
X
Qti ^ Ф2 Р dx - Фа ^ tyiFdx^.
а
О
При больших значениях х, оно будет вести себя, как
X
ОО
X
(6.15)
о
р{х)=2 а"'Ма0*
(6.16)
л
W (х) = 2 фп (х),
П
140 ГЛ. VI. НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где <!>п - нормированные характеристические функции уравнения
+ = (6-17)
подчиняющиеся следующим условиям: при х - 0 функция <!> должна обращаться
в нуль, а при х = оо она должна оставаться конечной. Суммирование
