Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Предположив, что диффракция волны от центра рассеяния не
слишком велика, мы можем вычислить /(6). В этом случае
функ-
ция ф(г') в интеграле (6.4) может быть заменена невозмущенной волновой
функцией е**?'. Это приближение справедливо только для быстрых частиц
(см. § 2 и гл. IX).
Соотношения (7.2) и (7-4) при этом дают
/(6) = $ exp[iA(n0-n) • r]U(r)dx, (7.5)
где n0 - единичный вектор, направленный вдоль оси z, так что
z = n0 • г. Для вычисления интеграла (7.5) удобно
воспользоваться
сферическими координатами а, (3, направив ось а = 0 вдоль вектора п0 - п.
При этом
2-JZ 1% СО
/ (6) = - i ^ dp ^ sin a da ^ г1 dr eiKrco& aU (г),
0 0 о
где
I 4кsin У , 2я h
К = к\п0-п\ = -, а=т = -..
Выполнив интегрирование по а и р, имеем
... fV)=-8j?r\!^rV{r)r*dr. (7.6)
б
Эта формула и представляет собой искомый результат; интенсивность
рассеяния внутри телесного угла d<о определяется величиной | / (0) |2
da>.
§ 1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВОРНА
149
Если V (г) характеризует поле атома, то часто оказывается удобным
преобразовать выражение (7.6) таким образом, чтобы оно содержало
плотность заряда в атоме; обозначая через - е\> (г) плотность заряда в
некоторой точке, имеем
V(r)=-^ + e*yi^j. (7.7)
Подставляя выражение (7.7) в интеграл (7.5) и воспользовавшись
соотношением (см. гл. XI, § 1)
4. i(n.
J |г-г'| I п |
получаем следующий окончательный результат:
/ (0) _ §?L "" *=Ш _ ^ 1Z- (8)1 cosec1} , (7.8)
где
СО
^(0) = 4*$р(г)^/-*Л-. (7.9)
о
Величина F называется обычно атомным фактором рассеяния;
она табулирована в некотором интервале значений К для всех
элементов (см. гл. IX).
Сопоставим формулу (7.8) с соответствующей формулой для рентгеновых
лучей. Интенсивность рассеяния рентгеновых лучей некоторым атомом на угол
0 внутри телесного угла dm определяется выражением [2]
[^F(6)]2(1 + cos26)du)-Сходство этого выражения с формулой (7.8)
объясняется весьма простым образом [1].
Замечания о рассеянии, определяемом формулой Борна,
Амплитуда рассеянной волны может быть вычислена с помощью формулы (7.6)
или (7.8). Из этих формул следует, что рассеяние
зависит только от pin-jj-//., т. е. только от "sin у. Точная формула для
/(6), полученная нами выше в гл. II, давала, однако, иной результат.
Соотношения (7.6) и (7.8) можно поэтому считать справедливыми лишь при
тех условиях (быстрые электроны), при которых применима формула Борна.
Из формулы (7.6) следует, что в том случае, когда по мере возрастания г
до бесконечности V (г) стремится к нулю быстрее, нежели т-3, функция /(0)
при убывании 0 до нуля сохраняет конечное значение. Это справедливо также
и в случае точной формулы (2.17), определяющей /(0).
150
ГЛ. VII. РАССЕЯНИЕ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
Для данного атома значение /(6) при 6 = 0 от е не зависит. При больших
значениях v функция / (6) убывает быстрее по мере увеличения 6, нежелб
при малых у.
При возрастании К значение F (Ь) стремится к нулю, откуда можно
заключить, что при больших скоростях и больших углах
рассеяния / (6) стремится к (Ze2/2mv2) cosec2 у , так что рассеяние
обусловлено в основном влиянием ядра, как этого и следовало ожидать.
Отсутствие фазового множителя в полученном нами выражении для /(0) [см.
формулу (3.16)] является следствием применения приближения Борна.
/
§ 2. Соотношение между формулой Борна и точной формулой для / (6)
Точная формула (2.17) для /(0) имеет вид
ОО
/(6)=м2(2й+1)(^п-1)/,"(созе)- (7Л°)
л=0
Формула Борна дает
' ОО
fW=-^\V(r)(tm)^-r2dr. (7.11)
о
В этом параграфе мы выясним, при каких обстоятельствах формула (7.11)
является хорошим приближением к формуле (7.10). В гл. II, § 2, было
найдено приближенное выражение для г\п, справедливое при малых значениях
т|П. Мы получили при этом
ОО
Чл - \V(r)[fn(r)]2r2dr, (7.12)
о
где
Как выражение (7.11), так и выражение (7.12) были получены нами в
предположении, что V{r) является малым возмущением; можно ожидать
поэтому, что подстановка (7.12) в (7.10) даст формулу (7.11). В том, что
это действительно так, можно убедиться с помощью хорошо известного
соотношения [3]:
^2(2w+1)pn(cos0) [/* Mi2*
п
заменив при этом e2i4n - 1 в выражении (7.10) на 2i~qn.
Формула (7.'12) часто дает хорошие результаты при вычислении даже в том
случае, когда гш одного порядка с тг/2; в этом
§ 3. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ПОПРАВКА
151
случае пользоваться формулой Борна уже нельзя; однако выражение для т)п в
форме (7.12) может быть непосредственно подставлено в формулу (7.10) (см.
гл. IX, §5).
§ 3. Релятивистская поправка
Мы не учитывали выше релятивистских эффектов. Они могут быть приняты во
внимание путем применения приближения Борна к уравнениям Дирака.
Уравнение второго порядка для компоненты фд волновой функции Дирака,
может быть записано в форме
v2<1>д + [А2 - !5 F W + /S - i Pi5 • Srad V] b = 0 (>• = !. 2. 3'4)'
где W - полная энергия, А2 = (ТУ2 - т2 с4)/Й2 с2, а рх а - векторная
матрица, действующая на к и имеющая компоненты:
Pi(
0 0 0 1) /0 0 0
0 0 10 • "O о о
0 10 0 > Pi aV - 0 i 0
