Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мотт Н. -> "Теория атомных столкновений " -> 49

Теория атомных столкновений - Мотт Н.

Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений — М.: Иностранная литература, 1951. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaatomnihstolknoveniy1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 160 >> Следующая

1 0 0 0) \i 0 0
/0 0 1 0\
0 0 0-1
Pl°z = 1 0 0 0 I ¦
\0-l 0 0/
Следуя приближению Борна, согласно которому потенциал рассеивающего поля
трактуется как малый, запишем:
V2<b + A2<b=[fJ-aF (r) + Yc Pi* • grad v] a*ei*z-
Членом F2/7l2c2 мы пренебрегли; функция alleikz описывает здесь
компоненту падающей волны. Воспользовавшись соотношениями (4.12) при рг -
рг = 0 и р3 = к%, имеем
ах khc а2
а3 W + тсг а4 '
В результате получаем функцию того же типа, что и (7.4):
где
Фа ¦
- ак eibz r~l eikr их (0, *р),
uz - {[y - -j (Г - 1) (1 -cos6)]a3 + y(l-T)smea4J /(0),
"4== I (Y -!) (1-cos0)] a4 -y(l -Y)sin0a3| /(0),
дв) = 2ят ^ у(Г')еа*'dz',
• n = cos 0, y - (1 -P2)_1/2, P = v/c, v - скорость частицы.
152
ГЛ. VII. РАССЕЯНИЕ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
Дифференциальное сечение (см. гл. IV, § 4) при этом равно
+ !'<"!¦
I °3 I2 + I а4 I2 1-Р2
Сопоставляя этот результат с формулами (7.5) и (7.6), приходим к
заключению, что учет релятивистской поправки приводит к появлению двух
дополнительных множителей - множителя (1 - р2)-1, обусловленного
лорентцовым сжатием, и множителя
^1 - p2sin 2~ ^ , связанного со спином. Оба эти множителя не зависят от
формы рассеивающего потенциала V (г).
§ 4. Классический предел формул рассеяния квантовой теории
Хорошо известно, что, полагая в любой формуле квантовой теории h -> 0, мы
получим соответствующую формулу классической теории. Интересно показать
непосредственно, что это имеет место и в случае формулы (2.17),
определяющей число частиц, рассеянных полем V (г). При этом можно также
выяснить, при каких условиях число рассеянных частиц окажется одинаковым
с точки зрения обеих теорий.
Найдем прежде всего выражение, определяющее число рассеянных частиц,
согласно классической теории.
Если рассеивающий центр находится в начале координат, то для любой орбиты
с энергией Е и моментом количества движения J будет иметь место уравнение
Г
ср -ь [2т (?_F)-^]1/2^ = 0, (7.13)
где г и <р - полярные координаты. Если г0 - положительный корень
выражения
2 m(E-V)-?,
а а -угол между асимптотами орбиты, то
оо
Ь--\{г[2т<Е-у)-?Гл'-
Го
причем угол отклонения 0 равен
0 = 1т - а. ' (7.15)
С помощью соотношений (7.14) и (7.15) мы можем, таким образом, вычислить
значение момента количества движения, соот-
(7.14)
§ 4. КЛАССИЧЕСК. ПРЕДЕЛ ФОРМУЛ РАССЕЯНИЯ КВАНТОВ. ТЕОРИИ 153
ветствующее данному углу отклонения 0. Рассмотрим теперь поток частиц,
движущихся со скоростью V, в котором за единицу времени через единицу
площади поперечного сечения проходит N частиц. Вероятное число частиц,
проходящих за единицу времени через площадку, перпендикулярную к
направлению потока, и обладающих при этом моментом количества движения в
интервале между J и J + dJ, равно
2-NJ dJ m2v2
Число частиц, рассеянных в интервале между 0 и 0 -h с?0, определяется
выражением
2kNJ dJ
'
причем зависимость / от 0 может быть найдена с помощью соотношений
(7.14) и (7.15). В гл. II, § 1, мы обозначили это
число частиц через 2WVY (0) sin 0 dQ. Мы имеем, таким образом,
(7Л6>
Рассмотрим теперь формулы квантовой теории. Нам нужно найти решение
уравнения]
*±. + F(r)L = 0, (7.17)
где
Поскольку нас интересует тот случай, когда h -> 0, можно предположить,
что F велико. Решения уравнения (7.17) имеют при этом следующий
приближенный вид [4] (см. также гл. I, § 6):
Г
F-V4 ехр i ^ F1!* dr] . (7.18)
Нас интересует линейная комбинация этих решений, являющаяся конечной в
начале координат. Отметим, что F (г) имеет только один корень г о в
интервале между г = 0 и г = оо. При г < г0 F (г) отрицательно, при г > r0
F (г) положительно. Решение (7.18) должно поэтому носить колебательный
характер при г > г0 и экспоненциальный характер при г < г0. Очевидно, что
искомое нами решение есть решение, экспоненциально убывающее с
уменьшением г при г < г0. Оно имеет следующий вид [4] (см. также § 6):
Г
Ьп (г) ^ F- J/4 sin {-J + ^ dr }
ГО
(7.19)
154
ГЛ. VII. РАССЕЯНИЕ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
•Эта функция является хорошим приближением для Ln{r) лишь в области г >
г0. Ее асимптотическая форма при больших значениях г есть
ОО
const - sin | -f ^ (F1!* - k) dr + & (r - rQ) j , ro
где
* 2 8 n2mE - A2 -
Для 7jn [см. формулу (2.15)] имеем в данном приближении
ОО
^n = ^ + ni-kra+\{F^-k)dr. (7.20)
г0
Этим выражением можно пользоваться для расчетов в случае больших значений
у]п (см. § 6).
Для вычисления амплитуды рассеянной волны / (0) мы должны теперь
просуммировать ряд [см. формулу (2.17)]
/ (6)=ш 2 1 (еЩп - v р"(cos 6>- (7-21>
п
Так как численное значение этой суммы определяется в основном членами,
которым отвечают большие значения п, мы можем заменить Рп (cos 6) его
асимптотическим выражением [5] при больших п:
Рп (cos6) ~ sin [0 + 1) 0 + 1].
Заметим прежде всего, что расходящийся ряд
2(2л+1)Р"(со80) (0 + 0)
П
может быть тем не менее просуммирован, если рассматривать его как предел
степенного ряда на его радиусе сходимости, и что сумма членов этого ряда
равна нулю. Мы можем поэтому вычесть этот ряд из выражения (7.21).
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed