Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
приближение было при этом справедливо, необходимо, чтобы выполнялись два
условия: а > %/mv и V (а) > %vja. Второе условие может быть также
записано в форме а > %/тиВ. Оба условия удовлетворяются, таким образом,
если ав аб > %/mv.
С другой стороны, в приближении Борна область поля, ответственная за
рассеяние, находится на расстоянии порядка %/тьв от начала координат и
приближение справедливо в том случае, если V (%/тиВ) < ть2в (см. гл. IX,
§ 5, где рассмотрен вопрос о применимости приближения Борна к задаче о
рассеянии электронов атомами).
В случае рассеяния кулоновым полем, для которого V = Ze2/r, имеем
V {а) яа т"20, где а = ^.
Таким образом, для классического рассеяния
Ze2 % Ze* ,
mt>20 mvQ ' T' 6' %v
Аналогично условие применимости приближения Борна:
Ze*mvQ .. 2Q Ze2 ,
-т. e. ^"1.
To или иное приближение применимо в этом случае либо при всех значениях
углов, либо вовсе неприменимо. Отличительной особенностью этого случая
является также то обстоятельство, что оба приближения дают один и тот же
результат, который является при этом точным. Если, однако, на
расстояниях, превышающих а, поле начинает отличаться от
кулонового, то это
скажется при различных значениях угла рассеяния, в зависимо-
сти от справедливости того или иного приближения. В классическом
приближении это произойдет при 0 порядка Ze2/mv2a, тогда как в
приближении Борна это будет иметь место при значении 0 порядка %/тиа. Это
обстоятельство приобретает существенное значение при рассмотрении вопроса
о многократном рассеянии (см. гл. IX, § 6, и гл. XII, § 2), а также о
торможении быстрых частиц (см. гл. XI, § 4, и гл. XII, § 2).
§ 6. Методы вычисления интенсивности рассеяния центральным полем сил
В предыдущем параграфе были сформулированы условия применимости
приближения Борна и классического приближения. Если оба эти приближения
непригодны, то следует пользоваться
§ в. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ РАССЕЯНИЯ 159
точной формулой, полученной нами в гл. II:
7 (0) = i | 2 (2га + !) (е2Цп - !) рп (<*" 6) j" •.
Во многих случаях фазы т)п могут быть, однако, вычислены с помощью
приближенных методов. Ниже мы рассмотрим эти методы, а также метод
численного интегрирования, к которому приходится прибегать в тех случаях,
когда не существует других достаточно точных способов вычислений.
1. Приближение, пригодное в том случае, когда фазовый сдвиг мал. В
этом случае можно воспользоваться уравнением (2.27). Оно дает хорошие
приближения только тогда, когда фазовый сдвиг очень мал (обычно 0,1
радиана или меньше). Это имеет место либо при условии, что скорость очень
велика, либо при га > 0, когда скорость очень мала. В первом случае
обычно нет необходимости применять метод парциальных сечений, поскольку
справедливо приближение Борна. Во втором случае, как это было показано в
§ 2, г,п очень мало, если частица с моментом количества движения [га (га
4-l)]1/2ft Не проникает внутрь атома (согласно классической теории), т.
е. если
Для тех значений га, которые удовлетворяют этому условию, формула (2.27)
дает хорошие результаты.
2. Приближение, пригодное в том случае, когда фазовый сдвиг не
является малым. В этом случае можно воспользоваться формулой (7.20) или
же эквивалентной формулой вида
со 1/2 со 1/2
где нижний предел каждого из интегралов определяется условием равенства
подинтегральной функции нулю.
Это приближение дает наилучшие результаты, если V велико и не
претерпевает заметных^ изменений на расстоянии порядка
0 Строго говоря, нас интересует не решение, убывающее по мере уменьшения
г от значения, являющегося корнем уравнения
но решение, обращающееся в нуль при г=0. Лангер получил такое реше-
причем г определяется соотношением
кг^ [га (га + I)]1/*.
(7.29)
dr, (7.30)
длины волны. Лангер [7]1) показал, что подстановка
п(п + 1) г2
160
ГЛ. VII. РАССЕЯНИЕ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
вместо га (га -f 1) приводит к дальнейшему улучшению результатов. В
частности, при этом оказывается возможным определить приближенное
значение фазы rjQ для поля притяжения, тогда как формула (7.30) для этой
цели непригодна ввиду отсутствия соответствующего корня у
подинтегрального выражения.
Хотя условие применимости этих приближений не может быть сформулировано в
столь же определенной форме, как условие (7.29)А), опыт показывает, что
формула (7.30) дает хорошие результаты вплоть до значений фаз порядка 0,2
радиана. При этом подтверждаются преимущества метода Лангера. Результаты,
полученные с помощью этого метода, будут рассмотрены нами в гл. X, § 4.
В том случае, когда функция k2 - - V- п -¦ имеет не
один, но несколько корней, этим приближением следует пользоваться с
осторожностью. Если амплитуда волны во внутренней области, где функция
положительна, остается малой по сравнению с амплитудой волны вне такой
области, то выражение (7.30) является хорошим приближением, причем иияушй
предел первого интеграла определяется наибольшим корнем функции. Для
некоторых узких интервалов значений к амплитуда во внутренних областях,
