Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мотт Н. -> "Теория атомных столкновений " -> 50

Теория атомных столкновений - Мотт Н.

Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений — М.: Иностранная литература, 1951. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaatomnihstolknoveniy1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 160 >> Следующая

Функция /(0) будет в таком случае определяться расходящимся рядом,
который может быть, однако, просуммирован:
/(0) = 2^H(eiB(n)-eiB'(n)). (7.22)
П
Здесь
А{п)= -1 Г-4Ц.У\
' ' 2ft V те sm0 J
В(п) = 2v)" + (ji +1) 0 + 1 тс,
B'(n) = 2rjn- ^и + i.) 0 -I*
% 4. КЛАССИЧЕСК. ПРЕДЕЛ ФОРМУЛ РАССЕЯНИЯ КВАНТОВ. ТЕОРИИ 155
Для того чтобы вычислить ряд вида
(7.23)
П
выясним, существует ли такое значение п, при котором
йВ (п) _ " dn
Если такое значение п = п0 существует, то вблизи п0 для большого числа
членов ряда множитель eiB(n'> остается почти постоянным. Очевидно, что
численное значение суммы ряда определяется в основном именно этой
областью. Ряд (7.23) может быть в таком случае заменен выражением
-foo
А (nQ) eiB(n°> ^ ехр [г'Р (п - /г0)2] dn,
- СО
где
Вычислив интеграл, получим
Мпо)^у,2ё*^. (7.24)
Выясним теперь, действительно ли производная от В (п) или В' (п)
обращается в нуль при любом положительном значении п. Для этого должно
было бы соблюдаться следующее условие:
СО
2^{F'l*-k)dr + K±b = 0.
Го
Полагая здесь
nh _ j
получаем
5^[2i"<?-r)~?]'',*-+f±4-0. (7.25)
ГО
Если перед последним членом этого уравнения стоит знак минус, то оно
сводится к уравнению (7.14), определяющему классическое значение момента
количества движения J электрона, рассеянного на угол 0. Легко видеть, что
при выборе положительного знака перед членом 0/2 не существует
положительного значения J, удовлетворяющего этому уравнению. В выражении
(7.22) вторая сумма значительно превышает, таким образом, первую сумму,
156
ГЛ. VII, РАССЕЯНИЕ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
и мы имеем для /(0)
/(0)=.-2i(n)eiE'W.
П
Подставляя (7.24), получаем
-А(п0) (-^-)1/2eiB'(no),
где Ь,п0/2к - корень уравнения (7.25). Величина (3 определяется
выражением
го
которое с помощью уравнения (7.25) может быть приведено , к виду
h дд 4it dj
Подставляя значение :А(га0)> получаем
1/(6) l2 = ^ %!т2 "2sin0,
т. е. классическую формулу для /(0).
Мы видим, таким образом, что условие классического рассеяния на данный
угол 0 заключается в том, чтобы было велико п0> где га0 -то значение п,
при котором
*Чп_± дп 2 '
и чтобы rjn при этом Также было велико. Условие применимости формулы
Борна заключается, напротив, в малости величины г1П при всех значениях п.
§ 5. Пределы применимости приближения Борна и классического приближения
Очевидно, что два приближенных метода, рассматриваемых в этой главе, в
значительной степени дополняют друг друга.
Вообще говоря, классическое приближение, за исключением случая очень
малых углов рассеяния, справедливо тогда, когда для характеристики
рассеяния необходимо задание большого числа фаз, многие из которых
велики. С другой стороны, приближение Борна справедливо тогда, когда все
фазы малы; при больших углах рассеяния оно является менее точным, нежели
при малых углах рассеяния. Оба эти приближения непригодны в том случае,
когда рассеяние характеризуется небольшим числом
§ 5. ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМ. ПРИБЛИЖ. БОРНА И КЛАССИЧ. ПРИБЛИЖ. 157
фаз, причем некоторые из этих фаз велики. При этих условиях необходимо
пользоваться точным методом решения задачи, изложенным в гл. II.
Для определенности рассмотримх) сперва вопрос о рассеянии частицы с
массой т и скоростью v полем, сосредоточенным в области а при условии,
что потенциал поля в этой области порядка D. Классическое решение этой
задачи дает правильные результаты при двух условиях: а) частица обладает
вполне определенной орбитой; б) отклонение, вызванное столкновением,
также является вполне определенным.
Первое условие означает, что
тш > Й, (7.26)
т. е. что длина волны должна быть малой по сравнению с размерами области,
в которой сосредоточено рассеивающее поле. Это соответствует условию,
сформулированному нами в § 4,
согласно которому значение п, отвечающее равенству ^ = 0/2,
должно быть велико.
Второе условие означает, что если Др - изменение импульса при
столкновении, то
акр > Й.
Поскольку До--порядка D/d, это значит, что
т?"1- ' (7.27)
Это соответствует условию, сформулированному в § 4,
согласно
которому должно быть велико то значение цп, при котором
а?-** .
С другой стороны, приближение Борна справедливо, если
¦?"!.¦ (7.28)
независимо от значения длины волны, соответствующей частице 2).
Если ни одно из условий (7.26) - (7.28) не выполняется, следует
пользоваться точным методом решения задачи.
В случае рассеяния полем, потенциал V (г) которого плавно убывает с
расстоянием, приведенные выше соображения могут быть использованы при
рассмотрении вопроса о рассеянии на некоторый заданный угол 0. В
классическом приближении такое
-1) Последующее рассмотрение основано на статье Вильямса [6].
2) Это условие может быть получено из рассуждений, приведенных в § 2.^
Оно сводится к требованию, чтобы величина ¦>]", выражаемая формулой
(7.12), в рассматриваемом случае была бы <§; 1.
158
ГЛ. VII. РАССЕЯНИЕ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
рассеяние обусловлено той областью поля на расстоянии а от начала
координат, где V(a)/mv2 порядка 0. Для того чтобы классическое
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed