Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
у в ряд по степеням (х - х0), удовлетворяющее начальным условиям в точке
х0 (например, по методу Фробениуса или разложение в ряд Тейлора). Это
разложение используется для определения значений у, F и разностей,
обозначенных выше жирным шрифтом. Последовательные значения у мшутбыть
найдены затем с помощью следующего циклического процесса:
1) Вычисление 82г/2 по формуле
Vy*=Т* 0^+Т2 b*F* - Ш *F' + • • •) <7-36>
при заданных значениях >j2F3 и о*F2. (Удобно выбрать интервал h
достаточно малым, чтобы членом Ь*Р можно было пренебречь; параметр I
можно при этом варьировать так, чтобы он удовлетворял любой стадии
вычислений, хотя чаще всего, его полагают равным единице.)
2) Вычисление oyS/2 и у3 при найденном значении Ь~у2.
3) Вычисление F3 с помощью соотношения (7.35), образование
соответствующих разностей и проверка того обстоятельства, что
И*
164
ГЛ; VII. РАССЕЯНИЕ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
при новом значении 52F2 величина о2у2 осталась неизменной; в противном
случае результаты предыдущих вычислений должны быть исправлены.
4) Вычисление у4, Ft и т. д. с помощью аналогичного цикла.
Проверка результатов интегрирования может быть осуществлена с помощью
приближенного соотношения
842/г = 4(^г + й^г)- (7-37)
При этом необходимо протабулировать разности высшего порядка Ъ4уг и 64Fr,
что само по себе является ценной проверкой остальной части работы.
Вычисленное значение Ь4ут не должно обычно отличаться от правой части
выражения (7.37) больше чем на единицу последнего знака. Если разность
этих значений оказывается знакопеременной, то можно быть уверенным в том,
что при интегрировании мы не сделали существенной ошибки. Если у носит
колебательный характер, то интервал h на соответствующих стадиях
вычислений может быть выбран таким образом, чтобы значения о2у оставались
в определенных пределах. Для того чтобы обеспечить точность значений у до
третьего или четвертого знака, необходимо,* однако, разбить каждый
отрезок, соответствующий половине "периода колебания", не меньше чем на 8
- 10 интервалов.
Можно воспользоваться также несколько иным методом интегрирования,
известным как метод Гаусса-Джексона [11]. В этом случае используется
формула
у г = i Q'-2pr +г2рг-шЬ2р'+--0' (7,38)
где означает сумму второго порядка в выражении для функ-
ции F, заменяющую (7.36). Таблица разностей имеет при этом следующий вид:
х0 8-2F" 8-'F1/2 F0 Уо
XL 8-2Fx 8-'F./, F, Ух
х2 8~2F2 8-'A,, f2 У2
х3 F3 Уз
• ! При^применении этого метода необходимо заранее задать только,
значения у0 и уй тогда F0 и Fx определяются затем с помощью соотношения
(7.35), a o~2F0 и l~'lF - формулой (7.38) в ^предположении, что h
достаточно мало для того, чтобы членом о2F при этом можно было
пренебречь. Тем самым определены все величины, обозначенные в таблице
жирным шрифтом. Интегрирование осуществляется затем следующим образом.
ЛИТЕРАТУРА
165
1) Определение F2, или, вернее, V12 и вычисление у2 с помощью уравнения
(7.38).
2) Определение F2 с помощью соотношения (7.35) при найденном значении у2\
проверка того обстоятельства, что значение у2 при этом осталось
неизменным.
3) Определение и 8~2F3 по найденному значению F2
и, наконец, вычисление ys.
Этот метод несколько проще предыдущего и обеспечивает даже большую
точность результатов, поскольку при соответствующем выборе параметра I
краевые погрешности при суммировании могут быть сделаны сколь угодно
малыми. Обычно полагают при этом I равным 2,5 либо 5. Проверка
результатов вычислений может быть осуществлена по формуле (7.36), подобно
тому как в случае предыдущего метода для этой цели использовалась формула
(7.37).
При вычислении фазового угла процесс интегрирования продолжают до тех
пор, пока влияние потенциала рассеивающего поля не станет незначительным.
При таких значениях а: и у имеем
У - Л [cos Wn+L (кх) + (- 1)" sin *1" (Аж)]> (7.39)
2 2
где /5 (кх) - (¦xx/2k)1i'i Js (кх). Фаза г1п может быть затем определена
путем сопоставления решения, найденного нами в результате интегрирования,
с выражением^(7.39) при больших значениях ж.
ЛИТЕРАТУРА
1. Mott, Proc. Roy. Soc., A127, 658 (1930).
2. Комптон и Алисон, Рентгеновские лучи, М.-Л., 1941.
3. Ватсон, Теория бесселевых функций, М., 1949.
4. Jeffreys G., Proc. Lond. Math. Soc., 23, ч. 6 (1925).
5. Янке и Эмде, Таблицы функций, М.-Л., 1949.
6. Williams, Rev. Mod. Phys., 17, 217 (1945).
7. L a n g e r, Phys. Rev., 51, 669 (1937).
8. Jeffreys H. and Jeffreys B., Methods of Mathematical Physics,
Cambridge, 1946.
9. Hulthen, Kungl. Fysio Sallskapets Lund Forhand., 14, 1 (1944).
10. P a i s, Proc. Camb. Phil. Soc., 42, 45 (1946); Ramsey, 44, 87
(1948);
Ferretti and К г о о k, Proc. Phys. Soc., 60, .481' (1948).
11. Jackson, Mon. Note R. Ast. Soc., 84, 602 (1924).
Глава VIII ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АТОМНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
В гл. II и III был рассмотрен вопрос о рассеянии потока частиц силовым
центром. В большинстве случаев при столкновении имеет место также и
некоторое воздействие рассеиваемой частицы на рассеивающий центр. Мы
