Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
функция (8.41) не удовлетворяет уравнениям (8.40); однако в случае
быстрых столкновений, когда справедливо приближение Борна, связанная с
этим ошибка мала. Более подробное исследование уравнения (8.39) будет
дано в гл. X, § 6, игл. XI, § 5.
2. Общий случай столкновений, сопровождающихся перераспределением
частиц. Прежде чем перейти к учету принципа тождественности электронов в
формулах, определяющих интенсивность рассеяния, мы обобщим изложенный
выше метод на случай любых столкновений, сопровождающихся
перераспределением частиц. Нас интересует определение вероятности того,
что при столкновении двух систем А и В, находящихся соответственно в
состояниях п и т, произойдет перераспределение частиц, в результате чего
мы получим системы С и D, находящиеся соответственно в состояниях s и t.
^ Н. Мотт и Г. Месси
178
ГЛ. VIII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АТОМНЫХ ТОЛКНОВЕНИЙ
Согласно методу, использованному выше для простейшего случая, мы должны
записать волновое уравнение для всей системы в такой форме, которая
являлась бы наиболее удобной для описания состояния систем С и D. Вместо
координат, относящихся к исходному состоянию, введем в рассмотрение
относительные координаты р центров тяжести систем С и 1) и внутренние
координаты rc, rd этих систем, отнесенные к их центрам тяжести. Уравнение
(8.30) может быть теперь записано в форме
[-8^г^'2 + НЛ^с) + Н,Ы + У{^ Ъ, Р)-?]'Г = 0, (8.44)
где М' - приведенная масса, равная McMd/(Mc + Md)\ Нс, На - операторы
Гамильтона для систем С и D в отдельности, а y(rc,rd, р) - энергия
взаимодействия С и D.
Определенную пару стационарных состояний систем С и D мы будем
характеризовать индексом s, а для соответствующих волновой функции и
значения энергии введем обозначения cps (rc, rd) и Es. Функция cps (rc,
rd) представляет собой произведение двух волновых функций ир (гс) и г:ц
(rd) для отдельных систем, a Es равно сумме соответствующих значений
энергии Щ-\-Е%. Эти обозначения в точности соответствуют обозначениям,
принятым выше § 2.
Сопоставляя уравнение (8.44) с уравнением (8.37), мы видим, что формулы
п. 1 могут быть обобщены, если мы запишем: М'
вместо т, <Ь0 (ra, rfc) вместо ф0 Ю, - V (rc, rd, р) вместо e*(J- - ,
cps(rc, rrI) вместо <!>s(r2).
В пределах применимости первого приближения Борна мы пог-лучаем, таким
образом, следующее выражение для дифференциального сечения (в
относительных координатах р), соответствующего перераспределению частиц,
при котором возбуждается s-e состояние систем С и D:
7S(6, ср) du> = ^|gs(0, cp)|2d(":
~ a*" " 15 S 57 ^г<ь exp [i ^n° ¦r ~ ¦ p)] x
x фо (ra> rt) tps (rc, rd) dia d-zb dp dio, (8.45|
где к - 2~Mv/h, k's = 2-M'vs/h, а у и vs - исходное и конечное значения
относительной скорости. '¦
В качестве примера можно рассмотреть вопрос о захвате атом-; ных
электронов а-частицами. В этом случае г обозначает рас* стояние между
центрами тяжести атома и а-частицы, р - расстоя* ние между центром
тяжести ионизованного атома и центром тяжести иона гелия, образующегося в
результате захвата элек-
§ 4. СТОЛКНОВЕН., СОПРОВОЖДАЮЩ. ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕН. ЧАСТИЦ 179
трона. В качестве внутренних координат мы имеем в исходном состоянии
координаты электрона по отношению к центру тяжести атома, а затем -
координаты того же электрона, взятые относительна центра тяжести иона
гелия. Приложение формулы (8.45) к этому случаю рассматривается в гл.
XII, § 3.
3. Принцип Паули и формулы для рассеяния [3]. Здесь мы вернемся к
рассмотрению вопроса о рассеянии электронов атомами водорода. Ограничимся
исследованием того случая, когда энергия падающего электрона столь мала,
что возбуждение атома невозможно. При этих условиях столкновение
описывается волновой функцией Ч1* (г1,г2), имеющей следующую
асимптотическую форму:
W ~ [eliZl + т-Г1/ (6i) etiri] ф (г2) (гх велико),
Ч?- ~ [гг *g (бг) Ф (^i) (''г велико).
Если бы электроны можно было отличить друг от друга, то можно было бы
сказать, что число рассеиваемых электронов пропорционально | /12, а число
испускаемых электронов пропорционально |g|2. Однако, как было показано в
гл. V, мы должны в этом случае построить антисимметричные волновые
функции. Волновая функция, симметричная или антисимметричная по отношению
к пространственным координатам, имеет вид
'F(ri, r2) ± ? (г" Г1).
При больших значениях гг это выражение приобретает асимптотическую форму
{"itel+ [/(?) ± s (0)1 ^'в^Жг,). '
С помощью этих формул находим число электронов, рассеянных внутри
телесного угла dm:
|/(6)±g(6)|2d<0.
Как было показано в гл. V, § 5, для неполяризованных электронов эти два
выражения должны быть взяты в отношении 1 : 3. Полное число электронов,
рассеянных внутри телесного
угла dm, равняется, таким образом,
(4l/-gl2 + 4l/ + el2)d"• (8-46)
Рассмотрим теперь случай столкновения электронов с атомами гелия. Второй
атомный электрон снабдим индексом 3; столкновение описывается при этом
волновой функцией
W ~ [e'*2i + / (0^ rj У*7-1] ф (г2, г3) (гг велико),
