Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
t[ji\ = ^\jPi]-\- (3.5.20)
Это уравнение - одна из форм балансного уравнения момента импульса. Оно
показывает, что даже в отсутствие внутреннего спина и других родственных
эффектов (например, эффектов ферромагнетизма - см. гл. 6) тензор
напряжений Коши в материалах в электрических и магнитных полях, вообще
говоря, не является симметричным. Появление антисимметричной части
связано с пондеромоторным моментом сил, который в свою очередь возникает
благодаря связям между электромагнитными полями & и В и поляризацией и
намагниченностью. При макроскопическом описании эти связи выражаются при
помощи определяющих уравнений. В частности, может быть так, что S и
В пропорциональны Р и Ж соответственно, так что правая часть уравнения
(3.5.20) равняется нулю и тензор напряжений Коши становится симметричным,
как это имеет место в хорошо известных теориях линейной упругости и
ньютоновских вязких жидкостей.
Такая же ситуация встречается в сплошных средах в электромагнитных полях,
например в изотропных жидкостях в магнитной гидродинамике и
электрогидродинамике. Однако для деформируемых твердых материалов правая
часть (3.5.20) в общем случае отличается от нуля, за исключением простых
ситуаций, охватываемых линейными теориями, как теория пьезоэлектричества
Фойгта (см. § 4.3). Поэтому мы рассмотрим урав-
§ 3.5. Интегральные и локальные балансные уравнения 199
нение для момента импульса в форме (3.5.20), чтобы далее его можно было
использовать в более общем нелинейном описании сплошной среды. Это
уравнение можно записать в форме, наводящей на некоторые соображения.
Действительно, если ввести полный тензор напряжений т соотношением
T = t + tem, (3.5.21)
то уравнение (3.5.15) с учетом (3.5.20) и (3.5.21)
принимает
вид
т[/г1 = 0, (3.5.22)
так что мы можем сказать: полный тензор напряжений при от-
сутствии внутреннего спина, электрических квадруполъных моментов и
эффектов ферриэлектричества и ферримагнетизма симметричен. Это, конечно,
не означает, что тензор напряжений Коши необходимо симметричен.
Уравнению (3.5.13) можно придать форму, в которой электрические и
магнитные эффекты явно разделяются. Определим симметричный тензор
напряжений t? с компонентами
tji = t(ji) -(- (0>{jPi) -f- B(jJti) - tij (3.5.23)
и эффективную силу Лоренца iL, не содержащую слагаемое
с намагниченностью;
jL==q,u§ + 1(^+р)ХВ. (3.5.24)
Простые алгебраические преобразования позволяют переписать уравнение
(3.5.13) в виде
,pv = f + \L + div tE + {(VB) • Ж- (V • Ж) В - (Ж- V) В), (3.5.25)
где выражение в скобках существенно зависит от плотности намагниченности.
Очевидно, что
4, = 0, (3.5.26)
я о tfj не есть тензор напряжений Коши, а сумма слагаемых
fem = tL + (VB) • Ж- (V • Ж) В - (Ж • V) В} (3.5.27)
в правой части (3.5.25) не есть пондеромоторная сила; часть по-
следней включена в div tE. Хотя группировка слагаемых в
(3.5.25) может выглядеть очень произвольной, тем не менее такая форма
балансного уравнения импульса наиболее удобна при решении многих задач
из-за простого выражения тензора t? в упругих телах, не говоря уже об
элементарном упрощении этого выражения для ненамагничивающихся тел (см. §
3.6).
200 Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
D. Полевые уравнения в отсчетной конфигурации
Начать вывод формы уравнений в отсчетной конфигурации Жя удобнее с
локального балансного уравнения импульса в форме (3.5.25). Для этого
введем тензор Т? = {Гкг} (ср. с (2.7.1)), полевые аксиальные векторные
величины В = {ВК}, М = {Мк} и полярные векторные величины @е = {@к}, П =
{Пк) соотношениями
Т? -/F_1t? (обратное соотношение tB = /-1FTB), (3.5.28)
1В = В • F, M = (3.5.29)
§ = i- F, П = /F_IP. (3.5.30)
Из (2.3.51) й (2.3.52) следует, что
M==/F-tjrj П = /F ~1Р, Р = /_1РП. (3.5.31)
Если учесть тождество (2.3.53) i и правило дифференцирования сложной
функции (2.2.10), то легко показать, что
V -Р=/~1?л-Л, V • jr = /-IV/fM
PXB=r'(F-fl)XB, (3.5.32)
(Ж ¦ V) В = /-1 (м • V*) В, (VB) • 1= Г1 (VB) • (FM).
Кроме того, выпишем еще раз третье и последнее из соотношений (3.2.89):
¦ 3.^/р-у, Q. f = Jqf. (3.5.33)
Умножая уравнение (3.5.25) на J и учитывая соотношение, обратное к
(3.5.28), уравнение (2.4.5) и третье уравнение (2.2,53),. получим
Poi = V* • Тв + F + Fem, (3.5.34)
где в соответствии с (3.5.29) - (3.5.33) введены величины
F = Л, (3.5.35)
Fет = Дет = Oeff<? + - [F • (3- -f П)1 X в +
+ {(VB).(FM)-(VfiM)B-(M- Vr)B}, (3.5.36) ~ V* -П. (3.5.37)
Уравнение (3.5.34) искомое. Его компоненты записываются в Ж и а не в Жr.
Согласно второму уравнению (3.5.28), соответ-
§ 3.5. Интегральные и локальные балансные уравнения 201
ствующая форма уравнения (3.5.26) имеет вид
д = 0. (3.5.38)
Материальная формулировка балансного уравнения энергии и локального
энтропийного неравенства дана в следующем пункте.
Е. Неравенство Клаузиуса - Дюгема
Введем функцию свободной энергии Гельмгольца ф, рассчитанную на единицу
массы в конфигурации Жг, соотношением
ф = е- т]0. (3.5.39)
