Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
ограниченной регулярной поверхностью dDt\ все величины считаются
непрерывными в этой области. В результате получаем следующее интегральное
тождество для электромагнитных величин [Maugin, Collet, 1974] :
~ J Memm dv = -\ (fem • v + f • I + pi • я + PB • м)dv +
Dt Dt
+ \ (t^ • v - 9> • n) da, (3.3.67)
SDt
где
tf^ - (tem + v(r)G). (3.3.68)
Намагниченность единицы массы ц в If определяется формулой
и = Л!р. (3.3.69)
190
Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
Уравнение (3.3.67) может рассматриваться как интегральное тождество,
заменяющее (3.3.58), в случае деформируемого вещества с произвольными
определяющими уравнениями для намагниченности и поляризации.
Электромагнитная поверхностная сила (3.3.68), очевидно, является
производным
понятием, как tem и G.
§ 3.4. Поверхностные электрические и магнитные величины
Задача этого раздела - вычислить интегральные величины
Jfeindv, Jc dv, ^ wem dv, (3.4.1)
Dt Dt Dt
когда в области Dt имеется поверхность разрыва a(t) с единичной
ориентированной нормалью п, движущаяся с абсолютной скоростью v
относительно R0. Отметим, что никаких особых трудностей не возникает,
когда рассматривается действие таких внешних сил, как сила тяжести, ибо
этот тип сил по существу зависит только от геометрических переменных
.(расстояния, т. е. радиус-вектора), которые в ньютоновской механике
непрерывны при переходе через любую поверхность. Ситуация кардинально
меняется для такой силы, как fem, выражение для которой содержит
электрические и магнитные поля, которые в худшем случае сами разрывны при
переходе через поверхность разрыва a(t). Это означает, что при вычислении
интегральной величины ^ fem dv интеграл надо брать по всей
Dt
открытой области Dt, из которой исключена сингулярная двумерная
поверхность ст, т. е. почти по всей области Dt, и добавлять
дополнительную величину, обусловленную поверхностью a(t). Таким образом,
в символической форме
Jfemda= J fmdv + J f emda. (3.4.2)
Dj Dt~a o(t)
Подынтегральная величина fem в поверхностном интеграле будет вычисляться
ниже. Заметим, что все сказанное относится и к вычислению двух последних
интегралов в (3.4.1). Мы будем существенно использовать тождества
(3.3.38) и (3.3.66). Действительно, проинтегрируем выражение для силы
(3.3.38) и момента сил (3.3.10) по регулярной трехмерной открытой но уже
теперь не односвязной области Dt, когда электрическими квадрупольными
^моментами пренебрегают с учетом обобщенных теорем о дивергенции и теорем
переноса из приложе-
§ 3.4. Поверхностные электрические и магнитные величины 191
ния А.III. В результате получим [ iemdv + [ п • [tem + v(r) G]da =
D{-о 0(0
= ~4t \ Gdv+ \ $n)da, (3.4.3)
Dt~a dDf-a
J (гХГ + сеш)Л+ J rX(n-[tem + v(r)G])da =
Dt-o 0(t)
= _4t S rXG dv+ 5 r Xf(n)da, (3.4.4)
Df-a dDf-a
^ wem dv + [ n • [(tem + v (r) G) • v - ^ Memf (v - v)] da =
Dt~ о o(0
= -^ ^ u 'nldv-\- ^ (t^) • v - • n) da. (3.4.5)
D^-o dDf-o
Левые части уравнений (3.4.3) - (3.4.5) представляют собой искомые
величины (3.4.1). Проверим это для случая силы fem
Рис. 3.4.1. К вычислению поверхностной пондеромоторной силы.
Рассмотрим рис. 3.4.1, на котором изображен слой т(t) толщиной 2d,
заключающий поверхность разрыва a (t) и движущийся с той же скоростью v.
Имеем Dt = D+ U т(/) U D~, где D+ и
11 Элегантное доказательство этого факта можно дать на основе теории
обобщенных функций, без использования так называемого метода коробочки
(см. приложение В в работе [Maugin, Eringen, 1977]). Расчет сил в рамках
формализма Фано - Чу - Адлера можно найти в работе [Costen, Adamson,
1965].
192 Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
D~ - части области Dt по одну и другую стороны т{t)\ D+ находится на той
стороне, куда направлена нормаль п. Очевидно, что мы будем стягивать т(^)
к a(t). Сначала проинтегрируем выражение для fem (3.3.26) 2 по области Dt
или, что эквивалентно, по D+ U x(t) LJ D~. В результате
= J femdv + J (divtem -dv. (3.4.6)
Dt D+\}D~ T(<)
Применим теперь теорему о дивергенции к первому слагаемому в последнем
интеграле и теорему переноса (III. 4) из приложения A.III ко второму
слагаемому; в результате получим
^ divtemdo = ^ п+ • tem da + ^ n"-temda+ ^ (...)da,
Т(<) о+(<) а~ (f) S'US2
(3.4.7)
\ ^Wdv = 4t \ Gdv~ S G (v • n+) da -
Т(<) -с (О a+[t)
- ^ G(v-n")da- ^ (...)da; (3.4.8)
a~ (t) StUS2
мы не выписали подынтегральные выражения в интегралах по Si и S2, так как
они не дадут вклада в окончательное выражение при т((), стягивающемся к
a(t). Значения tem и G в интегралах должны браться на соответствующих
сторонах "плюс" и "минус" поверхности. Эти формулы остаются верными при
стремлении o+(t) и сr(t) к a(t); при этом п+ и п~ стремятся к п и -п в
каждой точке a(t). Подставив выражения (3.4.7) и (3.4.8) в уравнение
(3.4.6) и устремив d к нулю, так что D+UD-^Dt- а и [сг+(Т), сг(0]о(1),
получим уравнение (3.4.3), в котором
?еш = п -[tem + v(g)G]. (3.4.9)
Аналогично можно получить второе и третье уравнения
