Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
диэлектриков
Типичная ситуация, когда условие (3.6.16) i не имеет места в области
пространства, занятой диэлектриком, предоставляется случаем, когда
сильный разрыв (ударная волна) в общем случае смешанной
электромагнитомеханической природы распространяется по диэлектрику, как
это происходит в экспериментах с керамикой. Все величины терпят конечный
скачок при переходе через поверхность разрыва a(t), движущуюся с
абсолютной скоростью v в системе отсчета Ra¦ Уравнение Гюгонио- это
уравнение термодинамической природы, связывающее состояние среды перед
поверхностью сильного разрыва с множеством состояний, которые возможны за
этой поверхностью. Чтобы получить это уравнение, нам нужно рассмотреть
условия на скачках. (3.5.12), (3.5.14), (3.5.17), (3.2.79), (3.2.73)',
(3.2.77) и (3.2.75) при отсутствии потока тепла, поверхностного заряда и
токов:
п • [р (v - v)] = 0 или m+ = m~, m = рп • (v - v), (3.7.1)
n • [p (v - v) <8> v - t - (tem + v (r) G)] = 0, (3.7.2)
г / , /* 1 о I ,E2 + B2.vG\ , .. _
n • [p (v - v) v2 + e + 2p + ~ j " t' v + S -
-i-(E2 + B2 + 2E-P)v] = 0, (3.7.3)
n • [B] = 0, п X [<? + ~ В X (v - v)l = 0,
r - ! n (3-7.4)
n • [E + P] = 0, n X -j D X (v - v)J = 0;
здесь при записи условия (3.7.2) мы учли соотношение (3.6.63). Для
ненамагничивающихся диэлектриков справедливы уравнения (3.6.3) и (3.6.7).
Как легко показать, при этом условии вектор Пойнтинга S в R0 принимает
следующее выражение:
S = c2G + v (Е • Р) - Р (Е • v), (3.7.5)
а условия (3.7-4) 2,4 принимают вид
пХ[Е]-7[В] = 0, (3.7.6)
n X [В] + -?• [Е] =4 (т И ~ К" ' р) VD- (З-7-7)
208 Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
где F = v-n. Уравнения (3.7.2) и (3.7.3), очевидно, можно пе-
реписать в виде
m[v]-n-[t] = fem, (3.7.8)
[т (V2v2 + е) - п • (t • v)] + W = 0, (3.7.9)
где
fem = n- [tem + v(r)G], (3.7.10)
r = [n-S -(n-v)(E-P)-^-(E2 + B2)] + m[-iv. g]. (3.7.11)
Вычислив скалярное произведение равенства (3.7.8) с <v> и учитывая
результат {3.7.9), найдем
яг[в] -<n-t). [v] + #em = 0, (3.7.12)
где
#em = (v)-fem + W. (3.7.13)
Раскрывая выражение (3.7.10), имеем
tem = (n X IE]) X (Е> + (n X [В]) X (В) +
+ (п • Р> [Е] + У [G] + [(п • Р) j v X В]. (3.7.14)
Здесь и ниже мы используем следующие легко проверяемые тождества (их
доказательство - простое упражнение):
[ЛВ] = (Л)[В] + [Л](В>, (3.7.15)
(АВ) = {А)(В) + Ч4[А][В], (3.7.16)
где [Л] = Л+ - Л", (Л) = Vs (Л+ + А~).
Теперь умножим векторно уравнения (3.7.6) и (3.7.7) на <Е> и <В>
соответственно; используя полученные уравнения, преобразуем (3.7.14) к
виду
fem = (n-P)[E] + |mNX(B>-
- 7 [(п • Р) v] X (В) + [(п ¦ Р) I v X В]. (3.7.17)
С другой стороны, при помощи соотношений (3.7.6) и (3.6.7) можно
показать, что
W = - (т [я] • (Е) + [(п • Р) (Е • v)] -
-(E).[v(n.P)]) + [|-(vG)]. (3.7.18)
§ 3.7. Уравнение Гюгонио для ненамагничивающихся диэлектриков 209
После некоторых преобразований этого уравнения с учетом
(3.7.17) найдем
Wem = -m [л] • (Е) - <(п • Р) i) ¦ [v] + <п • Р> ф) • [v] +
+ m ([я] X <В" • Ш + m[v G/р]. (3.7.19)
Однако
m ([я] X (В" • (у/с) = - m (1 v X в) • [я] + ([В] X И) •
[у/с].
(3.7.20)
Подставив это выражение в (3.7.19), а последнее в (3.7.12), окончательно
получим так называемое уравнение Гюгонио (т = р-'):
m \е - (<§) • я -f- tG • v] -
- n • (t + 1 ([P] <g> [i] + 4 [(v - V) (r) P] X [B])) . [v - v] = 0;
(3.7.21)
это уравнение справедливо в галилеевском приближении для любых
ненамагничивающихся деформируемых диэлектриков, в том числе и для
анизотропных керамик и оптических волноводов (волокон). Уравнение
(3.7.21) получено в работе [Maugin, Ani, 1985] 'А В квазиэлектростатике
оно сильно упрощается. Однако простейшую форму оно принимает для
абсолютно твердых диэлектриков, для которых 2 = ре, Р - ря, v = 0; эта
форма имеет вид
[2 - (Е) ¦ Р] = 0. (3.7.22)
Теперь можно посмотреть, от каких именно аргументов электрической природы
зависит величина е в (3.7.21) или 2 в (3.7.22). Можно вернуться к
исходному условию на скачке для энергии
(3.7.3), связанному с полевым уравнением для энергии (3.5.16). Поэтому
величины е и 2 зависят априори от поля поляризации. С преобразованиями
Лежандра переменных электрической природы в числе аргументов плотности
энергии следует обращаться с осторожностью; практически же нам будет
нужно только тождество (3.7.15), так как, например,
ё(-,?) = е(-,я)-п-ё, (3.7.23)
и, следовательно,
[е - <Е> • я] = [е] - (S) • [я] = [ё] + [я • &\ ~ (§} ¦ [я] =
_________ =т + (я)-т = [ё + (я).|]. (3.7.24)
о Слагаемое tG-v при анализе было случайно пропущено. Оно связано с
галилеевским преобразованием плотности энергии, так как G-импульс.
14 Ж. Можен
210 Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
Уравнение (3.7.22), где 2 = 2(Р), аналогичным образом можно* заменить
уравнением
[2(E) + (Р) • Е] = 0. (3.7.25>
§ 3.8. Второй пример: неполяризующиеся магнитные упругие проводники
Случай нелинейно упругих магнитных проводников неизбежно более сложен,
