Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Взяв материальную производную от обеих частей этого соотношения, исключив
из полученного уравнения при помощи
(3.5.16) е и учитывая (3.5.18), найдем в рамках рассматриваемого
описания деформируемых тел с электрическими и магнитными свойствами так
называемое неравенство Клаузиуса - Дюгема, которое имеет место для всех
регулярных точек х из Dt - а и для любого момента времени:
-p(ij> + r]8) + tr(tLr) + /- ?+р?- я - Ж- B-e-'q • V9>0.
(3.5.40)
Это неравенство, которое сводится к равенству, если нет диссипативных
процессов, составляет сердцевину теории определяющих уравнений с точки
зрения аксиоматической термодинамики, пример которой был дан в § 2.10.
Действительно, оно содержит все зависимые переменные, для которых нужно
по-
строить определяющие уравнения, а именно ф, т], t, f, я (или
$), Ж (или В) и q.
Выпишем неравенство (3.5.40) в нескольких эквивалентных формах. Например,
если определить новые плотности внутренней энергии ё и свободной энергии
ф соотношениями
б = е + р-В, ф = ё - т)0 = ф + ц • В, (3.5.41)
то неравенство (3.5.40) можно переписать в виде
_p(4+T)0) + tr("/) + ?• ^+р^-я + рВ • |i-e-1q ¦ ve>o.
___________________________________________________________ (3.5.42)
4) Определения (3.5.41) не просто устанавливают функциональную
зависимость от электромагнитных величин; на самом деле они являются
преобразованиями Лежандра. Этот факт использовался, например, в работах
[Fokker, J939; Leufold, 1969].
202
Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
-Г •
С другой стороны, если заметить, что р"э • я = • я - Р • §, ш
ввести ё и -ф соотношениями
->
ё = е - л ¦ б = ё - р • В - я, ¦ Ж,
ф = ё - т]0 = ф - я ¦ ?? = ф - р • В - л - &, то неравенство (3.5.40)
можно переписать в виде
- Р (Ф + Ф) + tr (tLr) + f ¦ i- P • i- M ¦ В - 0-*q - V0 > 0.
(3.5.43)
Очевидно, выбор той или другой формы неравенств (3.5.40),. (3.5.42) и
(3.5.43) зависит от выбора независимых переменных при описании связей
между электромагнитными полевыми ве-
личинами & и В и плотностями поляризации и намагниченности.. Нужно,
однако, отметить, что во все три формы неравенства Клаузиуса - Дюгема
входят необъективные скорости изменения во времени, как, например,
величина L и материальные
производные от других объективных полей Р, Ж или я, р.
Представляют интерес формулировки неравенства Клаузиуса- Дюгема,
содержащие только объективные изменения во времени. Для примера
рассмотрим формулировку (3.5.42), по-видимому наиболее естественную для
исследования намагничивающихся или ненамагничивающихся диэлектриков,
когда л и р, очевидно, считаются независимыми переменными. Искомое
преобразование неравенства легко находится, если ввести симметричный
тензор t? (3.5.23) и заметить, что
tr (tLr) -(- р<§ • л -j- рВ • р =
= (hio "Ь %<] ~Ь iPj + BiMj) Vit j -J- <% • P -j- В • Ж, (3.5.44)
так как с учетом (3.3.21) имеют место соотношения
*
рзт = Р -j- (Р • V) v, рр = Ж + {Ж ¦ V) v. (3.5.45)
Используя в неравенстве (3.5.42) соотношения (3.5.44), (3.5.20) и
каноническое разложение (2.3.4), получим
*
- р (^ + т]0) + tr (tBDr) + f • i+ <r р + в Ж - Г'q • V6> 0.
(3.5.46)
Это неравенство содержит только объективные скорости изме-
*
#
нения во времени D, Р и Ж. Тот факт, что t? термодинамически дуально D,
показывает, что t? сходно с тензором упругих
§ 3.6. Первый пример: ненамагничивающиеся упругие диэлектрики 203
напряжений из нелинейной теории упругости (см. соотношение
(2.10.10)); отсюда и индекс Е (elasticity - упругость).
Формулировка неравенства в виде (3.5.46) позволяет наиболее простым
образом получить его формулировку в отсчетной конфигурации.
Действительно, введем симметричный тензор напряжений S с компонентами Skl
в Ж я соотношением
S = T?(F_1f = /F"'tfi(F"If, (3.5.47)
и вектор потока тепла Q = {Qk}, так что
Qs=/F~'q. (3.5.48)
При помощи уравнений (3.5.29) -(3.5.31), (3.5.47), (3.5.48), соотношения,
обратного к (2.3.12), и уравнения (2.4.5) неравенство (3.5.46),
умноженное на J, можно переписать в виде
- р0 (ф + т)9) + tr (SEr) + 3- • § + <? • П + В • М - e-'Q • V*6 > 0,
(3.5.49)
справедливого во всех точках X в Ж я, в которых отображение Х = Х(х, 0
регулярно.
Аналогичные преобразования уравнения (3.5.16) приводят к следующему
локальному балансному уравнению для энергии в отсчетной конфигурации Ж
я'.
p0i = tr (SEr) + &-ё+(r)-П + 1В-М - F*-Q + роЛ, (3.5.50)
поскольку Г • q =7"• Q вследствие первого соотношения ,(2.2.53).
С учетом определений (3.2.89) и (3.5.47) уравнения (2.4.5), (3.5.34),
(3.5.38), (3.5.50), (3.5.49) и (3.2.90) образуют полную систему из
электромагнитных, механических и термодинамических уравнений (для объема)
в отсчетной конфигурации Жя в нерелятивистской электродинамике сплошных
сред. Эта система уравнений как в текущей конфигурации Жг, так и в
отсчетной Ж я позволит нам получить разные варианты определяющих
уравнений, замыкающих систему из дифференциальных электромагнитных и
механических полевых уравнений, а на основе последней исследовать
