Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
объемными моментами и поверхностными парами (когда учитываются
квадруполь-ные моменты). Разложив электромагнитные поля в ряд Тейлора в
окрестности точки г и оставив, как и ранее, только члены порядка е2 и
меньше, получим после чрезвычайно длинных выкладок, что
шеш = fem . V + feii • i + V • \m? + Ъ ¦ LQ] + tr (temLr), (3.3.47)
где L определено формулой (2.3.3).
Теперь рассмотрим случай, когда электрическими квадрупольными моментами
пренебрегается, так что справедливы
уравнения (3.2.58) и Q;/ = 0. Тогда выражение (3.3.47) можно
п Эти выкладки невозможно привести здесь из-за недостатка места. Однако
их рекомендуется проделать в качестве хорошего упражнения по тензорному
анализу.
§ 3.3. Выражения для объемных электромагнитных слагаемых 187
привести к любому из двух следующих выражений: wem = fem ¦ v + f ¦ ? + ?
• Р + с Л (V х h + tr (temLr), (3.3.48)
дает = . v + /eff ¦ i + V • [tem ¦v + c(lxij]. (3.3.49)
Последняя форма акцентирует внймание на работе, произво-
димой эффективной лоренцевой силой. Первое же выражение
легко преобразуется следующим образом. Выразив V X & из второго уравнения
(3.2.30), введя тензор скоростей деформации D и вектор вихря Й и учитывая
(3.3.18), получим
0,em = fem. v + cem .а + рАет, (3.3.50)
где
р hem + p-J.B + tr (temDr). (3.3.51)
Таким образом, работа wem является суммой работ, выполняемых
пондеромоторной силой и моментом, и некоторого объемного слагаемого рhem,
появление которого обусловлено тем фактом, что материал считается
электрически поляризованным, намагниченным и проводником. Можно получить
и другие полезные формы wem следующим образом. Во-первых, с учетом
(3.3.18), (3.3.21) и (3.3.50) можно записать
w'm = fem.y + pg.x-J.B + f-ff. (3.3.52)
Вычислим в этом выражении fem • v; если заметить, что с учетом (3.3.20)
(<7цГ+у/ХВ)-v = J-E -/•<?, (3.3.53)
то легко найти
iem-v = J-E-?-?-p?-n+l-B +
+ E-^--M--^- + V-[v(E-P)]. (3.3.54)
Следовательно,
wem = J • Е + Е • -¦ - М ¦ + V • [v (Е • Р)].
(3.3.55)
Дальнейшие преобразования этого выражения нужно проводить при помощи
энергетического тождества, называемого уравнением Пойнтинга.
Е. Уравнение Пойнтинга в Rq
Умножим скалярно уравнение (3.1.1);, на Е. Учитывая
(3.1.1), и векторное тождество
Е • (V X Н) = Н • (V X Е) - V • (Е X Н),
188
Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
получим
h-^- + e-^-=-j-e-v-s, <3-3-56)
где
S = сЕ X Н (3.3.57)
- известный вектор Пойнтинга в Ro. Физический смысл век-гора S и так
называемого джоулевского члена J-Е можно пояснить на примере линейного
изотропного абсолютно твердого неподвижного магнитного тела, для которого
D = еЕ и В - pH, где в и р - скалярные постоянные (см. гл. 1). Интегрируя
уравнение (3.3.56) по неподвижному материальному объему D с регулярной
границей dD с единичной внешней нормалью п и используя теорему о
дивергенции, найдем
It \ Т (~ + еЕ2) dv = ~ \ J ' Е dv ~ S S ' п йа' (3-3-58)
D D dD
Можно сделать вывод, что интеграл в левой части уравнения выражает
энергию электромагнитного поля в веществе с диэлектрической постоянной в
и магнитной проницаемостью р. Вектор (+S) и скалярную величину (+J-E)
можно интерпретировать как отток электромагнитной энергии через единицу
площади и потерю электромагнитной энергии в единице объема
соответственно. Однако в общем случае движущегося тела уже не удается
провести преобразование, которое привело к (3.3.58).
В этом случае можно просто переписать с учетом (3.1.2) локальное
уравнение (3.3.26) в виде
-JE-VS. (3.3.59)
Из этого тождества и результата (3.3.55) следует новое выражение для wem:
ffi>em = -^^-V-[S-v(E-P)]. (3.3.60)
F. Уравнение Пойнтинга в Яс
Если мы проделаем с уравнениями Максвелла в форме
(3.2.30) ту же процедуру, какая была выполнена в предыду-
щем пункте с уравнениями (3.1.1), то получим тождество
Ж-Ъ + & -Ъ = - ?•§-V -9, (3.3.61)
где
9 = cix ж (3.3.62)
§ 3.3. Выражения для объемных электромагнитных слагаемых 189
- вектор Пойнтинга в 91с¦ Тот же физический смысл, что был придан S и J-Е
в системе отсчета Rg, можно придать величинам
ЯР и f • & в собственной системе отсчета 91с• Как и соотноше-
->
ние (3.3.45), представляет интерес соотношение между S и
Вычислив вектор ЯР по его определению (3.3.62) при помощи уравнений
(3.2.26), (3.2.29) и (3.3.27), после простых преобразований найдем
= S + [tem + v (r) G - (uemf + Е • Р) I] • V. (3.3.63)
Этот новый результат позволяет нам продолжить преобразование выражения
для wem. Действительно, соотношение (3.3.63) дает следующее выражение для
слагаемого:
- V • [S - v(Е • Р)] = - V • [У - Memfv - (teT1 + v (r) G) • v].
(3.3.64)
Отмечая далее, что для любой величины А
9±Ш-=** + V-M), (3.3.65)
и учитывая (3.3.64), (3.3.60), приходим к следующему выражению:
шет = _р^(ыетУр) + у. [(ten + v(r)G)-v-^J. (3.3.66)
Это наиболее используемая на практике форма wem.
G. Интегральное энергетическое тождество
Приравняем два выражения (3.3.52) и (3.3.66) для даеш и проинтегрируем
полученное уравнение по материальной области Dt пространства Е3,
