Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
(3.3.7)
[Q" + Q"(V-v)]Ay=? t>qX&
Мы получили результат, аналогичный (3.2.58), только пространственное
осреднение теперь заменяет осреднение по фазовому пространству. Учитывая
определение Qih а также обра-
§ 3.3. Выражения для объемных электромагнитных слагаемых 181 * *
щая внимание на то, что (Qml)j Ф Qmjj, поскольку . *-
(Qm/), / == Qmj, / (Qpl^m, pj Ч- Qpm, 1^1, р) Ч- Qml, bPk, /> (3.3.8)
и используя определение (3.2.57), найдем
fem = <7еК<Г + -1/eff X В + divTem, (3.3.9)
c = rXfem + cem, (3.3.10)
где <7eff и /eff введены формулами (3.2.32), (3.2.33); мы также положили
tjr = Pfr + Qjk%it k + ±eipkmjpBk, (3.3.11)
+ (3.3.12)
где
Mmjk - Qm\j<?k\~ (3.3.13)
Момент cem будем называть пондеромоторным моментом сил
в расчете на единицу объема. Наличие Mmjk в выражении для с
показывает, что, как видно из (3.3.13), электрические квадру-польные
моменты создают внутри тела моментные напряжения. Очевидно, что
комбинация из первых двух слагаемых в выражении для fem напоминает силу
Лоренца (ср. с выражением
(3.3.1)). В соответствии с этим определим для дальнейшего применения
эффективную силу Лоренца fL для намагниченного диэлектрического тела:
\L = q*tt§ + ±-f"lX В; (3.3.14)
в результате уравнение (3.3.9) принимает вид
fem = ft + divtem. (3.3.15)
Эта же подстановка в уравнение (3.3.10) преобразует его к виду
Ci = (г X f )i Ч- e(/fe (Mffl/t, m Ч- rjipk. р)- (3.3.16)
Нужно отметить, что выражения (3.3.15) и (3.3.16) считают-
ся справедливыми для любого тела независимо от его конкретных магнитных и
диэлектрических свойств. В частности, они не зависят от типа магнетизма и
поляризации (см. гл. 1); эти выражения будут приняты как исходные в
макроскопической теории электромагнитных континуумов.
С. Электромагнитный тензор напряжений и электромагнитный импульс
Полученные выше формулы редко применяются на практике из-за усложнений,
внесенных наличием электрических квадру-польных моментов. В
действительности мы, забегая вперед, уже
182 Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
пренебрегали ими в интегральной формулировке уравнений 1 Максвелла в п.
З.2.Е. Поэтому выбросим их и теперь из урав- |
нений (3.3.14) и (3.3.16) и с учетом третьей оценки (3.2.56) |
*
положим Qi/ = 0. В результате получаем уравнения в следую- | щей
упрощенной форме: . |
= Z IF 6?а [ga X + Те* ААр W, I а 1 Р Л К = Р AF = Е бqT, (3.3.17) 1
а .
~^ml = ГВт]рЖ р,
а также 5
"'m = ei,*^ = (Px^+ixB)ll (3.3.18) \
так как теперь !
-= Pj&i - B,j[t + Ж • Вб/г. (3.3.19)
Формула (3.3.15) остается без изменений. В дополнение к (3.3.15) дадим
несколько явных выражений для fem. Например, из уравнений (3.2.24) и
(3.2.25) замечаем, что
<7f^ + 7/XB = <7fE-b]-JXB. (3.3.20)
Кроме того, имеем
Р = [Р + Р (V • v)] - (Р • V) v,
дР (3.3.21)
рл = Р + Р (V • v) =: + div (v <g) Р),
причем при выводе этих соотношений учитывалось уравнение неразрывности и
следующее определение для электрической поляризации я в расчете на
единицу массы в конфигурации Жй
я = Р/р. (3.3.22)
При помощи соотношений (3.3.20) - (3.3.22) получаем следующие
эквивалентные формулы для fem:
fem==(7/+l(/ + P)XB + (P-V)l + (VB). Ж, (3.3.23)
Г^ = qfi + \ (/ + 4т-) X в + (Р • V) Е + (VB) • Ж +
+ 7 v X [(Р • V) В] + 7 [div (v (r) Р)] X В, (3.3.24)
fem = qfE + 1 J X В + (VE) • Р + (VB)-n + l-sr (J1y5-) ¦
(3.3.25)
§ 3.3. Выражения для объемных электромагнитных слагаемых 183
Преобразование к последней формуле требует использования уравнений
Максвелла.
Производные понятия электромагнитного тензора напряжений и
электромагнитного импульса можно ввести при помощи теоремы, доказанной
Моженом [Maugin, Collet, 1974] в рамках изложенной выше схемы.
Теорема. Существует по крайней мере один общий тензор второго порядка t6m
и один вектор G, определяемые как функции полевых электромагнитных
величин, так что
fem j- ,em <3G em ,em /о о сю\
= divt Cl =Bijktlk. (3.3.26)
Одно такое решение имеет вид
ф = Р,${ - BjJCi + EjEi + B,Bi - меттfi", (3.3.27) G=yEXB, (3.3.28)
где
еетш = MeiTf + Mmd, (3.3.29)
Memf = ^(E2 + B2); "md = _ jf . B. (3.3.30)
Здесь ыет{ - объемная энергия электромагнитных полей, рассчитанная так,
как если бы не было вещества, a umd - объемная энергия электромагнитных
полей в движущейся намагничивающейся среде.
Доказательство. Начнем с выражения (3.3.24) для fem. Вычислив dPjdt из
третьего уравнения (3.1.1) при помощи (3.1.2) и (3.2.25), найдем
= V X (В - .#) + -^ div (Р (r) v - v <8> Р) - -
(3.3.31)
Умножив обе части i-й компоненты этого уравнения на е/ггВь получим в
символьной записи
1-^ХВ=-4?(В2-21- В) + (В V)B-
- (VB) - Ж - (В ¦ V) ^+y[div(P(r)v- v(r)P)]XB +
+ ljXB-|-f-XB. (3.3.32)
Заметим также, что
184
Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
С учетом первого уравнения (3.1.1) правая часть уравнения (3.3.33)
записывается в виде
div (Е (r) Е) - V ^ Е2) = div (Р (r) Е) - у Е X ' (3-3-34)
Из второго уравнения (3.1.1) следует
(В • V) 1= div (Jf(r) В), (В • V) В = div (В(r) В). (3.3.35)
