Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
ударных волн, находящихся внутри тепловой ударной волны, так что для
простоты мы его отбросим. Применяя обобщенную теорему о дивергенции и
теорему переноса из приложения A.III приф = 0, перепишем уравнение
(3.5.1) в виде
^ (рф - div А {Ф} - pQ {Ф}) dv +
Dt-a
+ ( [рФ (v - v) • n - n • А {Ф} - (pQ {Ф})] da = 0. (3.5.2)
о ")
Фундаментальный постулат физики сплошных сред гласит: интегральное
балансное уравнение (3.5.2) имеет место для любого элемента объема в Dt -
о и для любого элемента поверхности o(t). Локализация этого уравнения
приводит к уравнениям
рф = div А {Ф} + pQ {Ф}
во всех точках х из Dt - о, (3.5.3) [рф (v - v) • n - n • А {Ф} - (pQ
{Ф})] = 0
во всех точках x из tx(/). (3.5.4)
Приведем таблицу для нерелятивистских уравнений электродинамики сплошных
сред, аналогичную таблице § 2.4; здесь использованы обозначения гл. 2 и
результаты § 3.3 и 3.4.
Балансное уравнение ф -> л А PQ [pQl
Для массы 1 - - -
Для импульса ¦ V V) t f + fem ¦jem
Для момента импульса Г X V г х t(") - rX(f + fem) + cem с
Для энергии Wv' Q<"> -q f • V + pft + wem wem
Для энтропии Г\ -e'q 0_1p h -
13*
196
Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
О выборе величин, входящих в эту таблицу, нужно сделатй несколько
замечаний. Внешняя объемная сила f (например сила тяжести) предполагается
непрерывной на поверхности o(t)$ Мы предполагаем, что нет ни внутреннего
спина, так что Ф в уравнении импульсов состоит только из "орбитального"
мо*]! мента импульса г X v, ни поверхностных пар, так что электриче-J
ские квадрупольные моменты, эффекты электричества и ферри магнетизма
выбрасываются. Рассмотрение, например, эффектов ферромагнетизма требует
другой формулировки, которая будет дана в гл. 6. Приток тепла за счет
излучения, например по за кону Стефана - Больцмана, может быть включен
как в век- ! тор потока тепла q, так и в вектор Пойнтинга, входящий
вурав- * нение для wem. Мы предпочитаем включить этот приток тепла за
счет излучения в член ф, исключив, тем самым, из электро магнитных членов
в балансном уравнении для энергии электромагнитные величины, связанные с
этим типом излучения. Поэтому электромагнитные поля не содержат
высокочастотных компонент, существующих при излучении тепла. Однако неко
торые авторы включают эту часть излучения в q. Наконец, надо сказать,
что, за исключением обсуждавшегося слагаемого в ф, как объемные, так и
поверхностные электромагнитные источ ники энтропии считаются
отсутствующими.
В. Интегральные балансные уравнения
В соответствии с построенной выше таблицей мы можем сказать: интегральные
балансные уравнения совместно с уравнениями Максвелла, описывающие
нерелятивистскую электродинамику сплошных сред без учета внутреннего
спина и поверхностных пар, когда через объем тела Dt с абсолютной
скоростью v движется поверхность разрыва a(t), имеют вид
Закон сохранения массы
4t S р^=о.
(3.5.5)
Уравнение баланса импульса {j pv dv = ^ (f + fem) dv + ^ t(n) da
+
Dt-a Dt-a dD{~0
+ \ n • [tem + v<g>G]da. (3.5.6)
0(t)
§ 3.5. Интегральные и локальные балансные уравнения 197
Уравнение баланса момента импульса "It § (r X pv) dv - jj [rX(f + fem) +
cem]da +
Dt-0 Dra
+ ^ (г X t(n)) da + J rX (n • [tem + V(r) G])da. (3.5.7)
dD(-o a(t)
Уравнение баланса энергии (первый закон термодинамики) "It S (yv2 + ej dv
= ^ (f • v + ph + шет) dv +
Dt-a Dt~a .
+ 5 (t(n> ¦v+^da + Sn ¦ к*ет+V (r) G) ' V ~
dDt-a o(0
- 9 - uemf (v - v)] da. (3.5.8)
Соотношение баланса энтропии (второй закон термодинамики)
~ ^ pi)dv^s ^ рb dv^ N(n)da. (3.5.9)
Df-o Df-o dDt~a
Здесь скалярные величины Q("), b и N(U) определены соотношениями
Q(n) - - n • q, b = Q~ih, M{n) = - 0-1n • q. (3.5.10)
С. Локальные балансные уравнения
Применив формальную процедуру локализации (3.5.2) -
(3.5.4) к уравнениям (3.5.5) - (3.5.9) с учетом (3.5.10), получим
следующие локальные уравнения:
Закон сохранения массы
р + pV • v = 0 в Dt - а, (3.5.11)
n[p(v - v)] = 0 на о(/). (3.5.12)
Уравнение баланса импульса
pv = f + fem + div t в Dt - o, (3.5.13)
n-[p(v - v)(r)v - (t + tem +v(r)G)] = 0 на o{t). (3.5.14)
<Уравнение баланса момента импульса
tjk + cVa = О в Dt - o. (3.5.15)
198 Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
Уравнение баланса энергии '
рё = tr (tLT) + / • cf + pcf • я - Ж - Ъ - V-q + рЛ в Dt - о,
(3.5.16)
п • [('Apv2 + ре + ыет0 (v - v) -
- (t + tem + v <g> G) • v + q + 9*\ = 0 на a(t). (3.5.17)
Энтропийное неравенство . c ". f '
pfj ^Q~'ph - 6~*V • q - q • V0_1 в Dt - o, (3.5.18)
n • [pn(v -v) + e_1q]>0 на o(t). (3.5.19)
Здесь локальная форма уравнения (3.5.7) была преобразована к виду
(3.5.15) с учетом уравнения (3.5.13), а локальная форма уравнения
(3.5.8)-к виду (3.5.16) с учетом (3.5.13) и (3.4.52).
Напомним, что величины fem, tem, G и cem определены соотношениями
(3.3.23), (3.3.27), (3.3.28) и (3.3.18) соответственно. Выполняя свертку
обеих частей уравнения (3.5.15) с символом альтернирования ew-, используя
первое уравнение (2.2.14) и группируя слагаемые, находим
