Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
разнообразные задачи электродинамики (в приближении Галилея).
§ 3.6. Первый пример: ненамагничивающиеся упругие диэлектрики в
адиабатическом процессе
Диэлектрики редко являются хорошими магнитными материалами (несколько
исключений отмечено в гл. 1). Поэтому мы здесь рассмотрим случай
ненамагничивающихся активных диэлектриков.
204 Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
Кроме обычных условий
<7/ = 0, f - 0, (3.6.1>
мы в галилеевском приближении имеем условие
Ж(х, 0 = 0, (3.6.2).
выполняющееся во всех точках материала в любой момент времени. Это не
означает, что материал не имеет намагниченности по отношению к
наблюдателю в лабораторной системе отсчета Ro, так как из (3.6.2) и
(3.2.25) следует
М = у Р X v. (3.6.3)>
Но эта величина имеет практическое значение только тогда,, когда Р велико
и p=|v|/c - достаточно большая величина. Этот эффект увлечения несложно
обнаружить оптическими измерениями.
При предположениях (3.6.1) и (3.6.2) уравнения (3.3.23),.
(3.3.25), (3.3.18), (3.3.27), (3.3.52) и (3.3.55) принимают следующий
вид:
fem = У Р X в + (р • V) (Г, (3.6.4>
или
fera = qfE + (VE) ¦ р + I -- (р-'Р X В), (3.6.5)
?вП1 __ р X (3.6.6>
*/" = Р,&, + EjEi + BtB, - umtb{l = f,i + Pfii, (3.6.7)
v + p#.i, (3.6.8),
или
ш(tm) = E • -|y + V • [v (E • P)). (3.6.9),
Из уравнений (3.1.2) и (3.6.3) следует
D = Е -j- Р, H=B-fyvXP- (3.6.10)
Уравнение (3.5.20) сводится к уравнению
kti] - <оцРц, (3.6.11)
§ 3.6. Первый пример: ненамагничивающиеся упругие диэлектрики 205
а уравнения (3.5.25), (3.5.24), (3.5.16) и (3.5.46) - к уравнениям
pv = f+ fL + divtfi, = 0, (3.6.12)
fL = -(T-Р)<Г-|-^РХВ, (3.6.13)
p^ = tr(tEDr) +<?• P-V-q + ph, (3.6.14)
-p(4+ ri6) + tr(t?Dr) + #- P-r'q- V9>0. (3.6.15)
Кроме того, мы предположим, что процессы в диэлектрическом материале
адиабатические. Поэтому
11 = const, h = 0, q = 0, (3.6.16)
а уравнение (3.6.14) сводится к уравнению
*
рё = tr (t?Dr) + § ¦ $ (3.6.17)
и материальная формулировка неравенства (3.5.50) - к равенству
2 = tr(SEr) + (r)-li, S = р0е. (3.6.18)
При первом взгляде на уравнения (3.6.12) и (3.6.17) кажется, что все
тензоры напряжений, оставшиеся в рассматриваемой частной теории,
симметричны. Это не совсем так - взгляните на уравнение (3.6.11) для
тензора напряжений Коши, который появится в граничном условии для
напряжения. Действительно, условие (3.5.14) на (материальной) границе v =
v дает
= tfn) I ~j~ t{n) i> t{n)l = rij{tfl + VjGi], (3.6.19)
если учесть следующие эквивалентные разложения:
T = t + tem = tB + tF. (3.6.20)
Уравнения (3.6.12), (3.6.13), (3.6.17) и (3.6.19) можно назвать
уравнениями динамической нелинейной теории диэлектриков Тупина [Toupin,
1963]; их статическая формулировка была предложена ранее [Toupin, 1956].
Замыкающие определяющие уравнения для tB и & в упругих диэлектриках
получаются следующим образом. Так как все полевые величины в уравнении
(3.6.18) материальны, то это уравнение в покомпонентной записи имеет вид
206
Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
Для однородного нелинейно упругого тела в адиабатическом процессе
естественно рассмотреть функциональную зависимость
автоматически удовлетворяющую условию объективности § 2.5. Вычисляя dhldt
и подставляя результат в уравнение (3.6.21), находим
Если считать, что это равенство имеет место для любых ненулевых скоростей
изменений во времени dERL/dt и 5П*/д/, К, L = = 1, 2, 3, то из (3.6.23)
следуют уравнения
которые являются электромеханическими определяющими уравнениями в
материальной формулировке.
Используя теперь соотношения, обратные (3.5.47) и (3.5.30), совместно с
уравнениями (3.6.10) и (3.2.26), находим окончательно систему
определяющих уравнений в текущей конфигурации:
при этом зависимость (3.6.22) для ненамагничивающегося нелинейно упругого
однородного диэлектрика в приближении Галилея должна быть задана. В
квазиэлектростатике уравнения
(3.6.25) 2-5 упрощаются еще больше. Никакие свойства конкретного
материала до сих пор не использовались, поэтому уравнения (3.6.25)
годятся для описания материалов из любых кристаллических классов.
Содержание, охватываемое этими уравнениями, очень богато. В частности,
уравнения (3.6.25) i и
(3.6.25) 2 описывают взаимосвязанные электроупругие эффекты разного
порядка. Уравнения (3.6.25) 2-3 закладывают основу описания как эффектов
фотоупругости и Керра, так и нелинейной оптики в деформируемых
материалах. Кроме того, уравнения (3.6.25)г-5 охватывают эффекты
увлечения, возникающие благодаря движению со скоростью v. Уравнения
(3.6.25) можно
2 = 2 (Е, П, т\ = const),
(3.6.22)
Skl~T.
(3.6.24)
(3.6.25)
Ht = Bi + X(v x Р)ь At;
§ 3.7. Уравнение Гюгонио для ненамагничивающихся диэлектриков 207
также использовать для описания изотропных, но нелинейных диэлектриков,
как, например, так называемые пьезоэлектрические полимеры. Дальнейшее
упрощение и применение этих уравнений составит предмет гл. 4.
§ 3.7. Уравнение Гюгонио для ненамагничивающихся деформируемых
