Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Ампера, первое и четвертое уравнения (3.2.1) должны быть модифицированы
следующим образом:
V • е = X 6<7а6 (га - г), (3.2.6)
а
7Хь_Т'1г = тЕ 6<?"v"6 (г" ~г); (3-2-7)
а
второе и третье уравнения (3.2.1) остаются без изменения. Здесь г -
точка, в которой берутся значения е и Ь, б (г* - г) - трехмерная
(обобщенная) дельта-функция. Из-за точечной природы частиц а
электромагнитные поля е и b - решения уравнений (3.2.6), (3.2.7),
(3.2.1)г и (3.2.1)3 - сильно меняются в пространстве и времени.
§ 3.2. Электромагнитные величины деформируемого тела
161
В. Уравнения Максвелла в сплошной среде
Аналогично тому как деформируемый материальный континуум получается в
результате сглаживания более или менее плотной системы точечных частиц, а
его характеристики определяются при помощи некоторой процедуры
осреднения, электромагнитный континуум можно получить аналогичным
сглаживанием системы точечных зарядов, иногда называемых электронами,
хотя они не имеют никакого отношения к электронам из физики частиц.
Аналог плотности массы - плотность заряда- определяется при этом по
формуле
где ломаные скобки означают некоторую операцию осреднения. Кроме того, мы
можем ввести по аналогии с (2.1.1) математическое определение плотности
заряда
но теперь у нас нет ограничения на знак q, который может быть как
положительным, так и отрицательным. Формулы типа
(3.2.9) выражают операцию осреднения по физическому пространству,
тогда как (3.2.8) могут представлять другие способы осреднения, например
осреднение по фазовому пространству в статистической физике. Мы будем
предполагать, что объемные характеристики, определяемые по обоим способам
осреднения (3.2.8) и (3.2.9), практически совпадают. Введенный таким
образом континуум электрического заряда формирует все электрические и
магнитные свойства сплошной среды. Для плотности q, так же как и для
плотности массы, имеются масштабные ограничения.
Действительно, рассмотрим совокупность связанных точечных зарядов а =1,2,
..., содержащихся в малом элементе объема Д1/. Этот комплекс зарядов
полагается устойчивым в том несколько условном смысле, что все его
элементы остаются близкими друг к другу в течение всего процесса движения
в физическом пространстве. Размеры объема Д1/ достаточно велики по
сравнению со средним расстоянием между соседними зарядами, но достаточно
малы по сравнению с макроскопическими характерными размерами. Иными
словами, если L и L*- наибольший размер ДР и характерная макроскопическая
длина, то ДР ~ L3 и L = eL*, где е - бесконечно малая величина. Такое
условие выполняется для подавляющего большинства явлений в веществах,
рассматриваемых как континуумы. В случае газов плотность не должна быть
очень малой или средняя длина свободного пробега очень большой, иначе
размеры
Я = (bq),
(3.2.8)
(3.2.9)
11 Ж- Можен
162
Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
микроэлемента А1/, содержащего большое число зарядов, станут слишком
большими, чтобы это условие могло выполняться.
Итак, для сплошной среды надо применять не микроскопические уравнения
Максвелла (3.2.1), а макроскопические
(3.1.1) совместно с определениями (3.1.2). Из третьего и четвертого
уравнений (3.1.1) следует, что плотность свободного заряда qf и плотность
тока J удовлетворяют локальному уравнению закона сохранения
электрического заряда
_^L + V-J = 0. (3.2.10)
Потенциалы ф и А полей Е и В можно ввести формулами, аналогичными
(3.2.2), на основе первых двух уравнений (3.1.1):
В = V X A, E = -V?--L^-. (3.2.11)
Простые преобразования с учетом калибровочного условия
(3.2.3) и определений (3.1.2) показывают, что уравнения (3.2.4)
заменяются уравнениями
? ф + qeli = 0, ? А +-|-Jeff = 0, (3.2.12)
где эффективный заряд qeU и эффективный ток Jeff определяются формулами
qeii = 4f ^ ' Р, Jeff^ Л-4г + сУХМ. (3.2.13)
Поэтому полевые величины dP/dt и cV ХМ можно назвать током поляризации и
током намагничивания (в R0) соответственно.
С. "Галилеевская инвариантность" уравнений Максвелла
Преобразования Галилея пространства-времени, соответствующие переходу от
одной инерциальной системы отсчета к другой, образуют группу, состоящую
из преобразований пространства - не зависящих от времени вращений и
переносов, сдвигов шкалы времени и чисто галилеевских преобразований вида
r' = r + W, t' = t, (3.2.14)
где V - постоянная скорость галилеевской системы отсчета Ro относительно
галилеевской системы отсчета Ra\
Форминвариантность уравнений Максвелла для вещества
(3.1.1) относительно не зависящих от времени преобразований вращения и
переноса из группы Галилея очевидна, так как эти уравнения записаны в
векторной форме. Инвариантность же
§ 3.2. Электромагнитные величины деформируемого тела 163
к преобразованиям вида (3.2.14) не так ясна. Штрихованные величины будут
относиться к системе отсчета R0Так, V7 и
d/dt' обозначают оператор градиента и производную по вре-
мени в системе Ra\ В соответствии с этим имеем
V' = V. y4-V-'' (3.2.15)
