Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
ные моменты в динамическом случае, нужно также принять во
*
внимание следующее кинематическое условие: Qi/= 0 в течение
172
Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
всего процесса движения среды. Это означает, что во время движения
геометрия распределения электрических зарядов не меняется.
(iv) Объективность электрических и магнитных полевых величин вещества
Установить объективность полевой величины можно только тогда, когда
имеется выражение этой полевой величины через характеристики движения
континуума (см. гл. 2). У нас есть такие выражения для плотности
электрического заряда, поляризации, намагниченности и тока проводимости
(уравнения (3.2.43),
(3.2.44), (3.2.55) и (3.2.49)). Если fd<j> - объективная величина
[Maugin, 1979] и \ка (относительный радиус-вектор) объективно, то и Dfeka
объективно; очевидно, что Р объективно, так же как и q; и Q; это же
справедливо по отношению к Л и /, так как vk (поле относительных
скоростей) объективно. Отметим, что объемная намагниченность М в R0 не
объективная величина,
хотя как Р, так и & объективны, так как в приближении Галилея Р = У>.
До сих пор мы не затрагивали условия на скачках для уравнений Максвелла.
Чтобы получить эти условия в общем случае (нерелятивистском) для
движущегося деформируемого тела, рассмотрим в следующем пункте
интегральную форму уравнений Максвелла (т. е. для всего тела конечной
протяженности), которые будут сформулированы как постулаты без каких-либо
ссылок на описание на микроскопическом уровне.
Е. Интегральная форма уравнений Максвелла в движущемся деформируемом
веществе
В механике сплошных сред стало уже традиционным начинать с формулировки
интегральных балансных уравнений, как это было в § 2.4, а затем выводить
из них локальные балансные уравнения и соответствующие условия на
скачках. Для данного контекста такой подход может выглядеть в чем-то
излишним, так как мы приняли приближение Галилея для изменения
электромагнитного поля при переходе от одной инерци-альной системы
отсчета к другой. Поэтому мы просто выпишем здесь без пояснений
интегральную формулировку уравнений Максвелла для среды, движущейся с
нерелятивистской скоростью. Нужно только понимать, что в отсутствие
поверхностей и линий разрыва приведенные ниже уравнения получаются
интегрированием уравнений (3.1.1) по соответствующим областям разной
размерности.
§ 3.2. Электромагнитные величины деформируемого тела 173
Для простоты при описании электрических и магнитных свойств движущегося
вещества будем учитывать наличие только электрических и магнитных
диполей. Обозначения для объемов и ограничивающих их поверхностей те же
самые, что и в гл. 2. Пусть o(t)-поверхность разрыва в области Dt,
движущаяся с абсолютной скоростью v по отношению к системе отсчета Ra и
имеющая единичную ориентированную нормаль п. Обозначим через уа
сингулярную кривую на о (т. е. острую кромку, на которой касательная
плоскость терпит разрыв); для простоты будем считать ее неподвижной
относительно a(t)
(рис. 3.2.2).
Пусть 9v - открытая область материальной поверхности в Е3, ограниченная
замкнутой кривой <ё', и -линия разрыва на 9', движущаяся с абсолютной
скоростью v относительно Ro
Г
Рис. 3.2.3. Открытая материальная поверхность 91.
(рис. 3.2.3). Пусть Wf и Ж - поверхностная плотность свободных зарядов и
плотность поверхностного тока проводимости
соответственно. Без потери общности можно считать, что ток Ж тангенциален
поверхности, на которой он определен:
Ж ¦ п = 0. (3.2.59)
Теперь можно сформулировать интегральные уравнения Максвелла в
нерелятивистском случае для областей движущегося вещества, содержащих
сингулярные поверхности и кривые (мы используем формализм приложения
A.III).
Рис. 3.2.2. Открытый материальный объем Dt-, o(t)-движущаяся поверхность
разрыва; кривая у неподвижна относительно о.
174 Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
Закон Фарадея
S Я'й* + Т1[Г S В • da = 0. (3.2.60)
Ъ-уср
Закон Ампера
S ^'dx-TW S Dda==
Ъ-yg
= 4- \ f-da--±- J Ж-xdl. (3.2.61)
ГГ~Ч&' У#
Закон Гаусса
^ Dda = ^ qf dv + ^ Wf da. (3.2.62)
dDt-a Dt~a о-y0
Сохранение магнитного потока
jj B-da = 0. (3.2.63)
dDt- a
Эти уравнения дополняются законом сохранения электрического заряда в
интегральной форме
' ~§f ^ ^fdv + ^ ^'da + "3F S wfda~~ 5 ^' X^dl ==0'
Df-a dDt~o o-Y0 Y0
(3.2.64)
В этих уравнениях d/dt обозначает, как обычно, материальную производную
по времени, 8/dt - конвективную полную производную по времени, связанную
с движением поверхности разрыва a(t), и т - бинормаль к или уа-
Применяя интегральные теоремы и теоремы переноса из
приложения А.III. и введя полный поверхностный ток в Яс соотношением (ср.
с определением (3.2.4) для тока в объеме)
К = Wf\ + M, (3.2.65)
преобразуем уравнения (3.2.59) - (3.2.64) к следующему виду:
S (vxl + ^B) da+ J [#+4-BX(v-v)]-dx = 0,
<У-УоУ yff
(3.2.66)
J (VX^-^D--^/)-da +
§ 3.2. Электромагнитные величины деформируемого тела 175
