Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
сплошных сред и чтобы избежать полного произвола в выборе выражений для
электромагнитных слагаемых в этих уравнениях - в основном это так
называемые пон-деромоторная сила и момент сил и соответствующий приток
энергии, - мы намерены получить естественные выражения для этих слагаемых
на основе микроскопического моделирования. Другими словами, на первом
этапе мы мотивируем наш выбор выражений для пондеромоторной силы и
момента силы из признанной полумикроскопической модели, т. е. электронной
теории Лоренца [Lorentz, 1952; см. также Rosenleld, 1951].
Макроскопические выражения будут получены при помощи классической
процедуры осреднения Лоренца (по пространству), примененной к
нерелятивистской системе из связанных точечных зарядов, находящихся
внутри микроэлемента AV. Считается, что на каждый заряд действует сила
Лоренца. Гипотезы, выдвинутые в § 3.2, предполагаются верными. Считается,
что макроскопические значения, которые дает процедура пространственного
осреднения, являются достаточно гладкими функциями координат и времени,
как это обычно имеет место в физике сплошных сред, кроме, быть может,
некоторых сингулярных поверхностей и линий. Показывается, что
макроскопические полевые величины, например плотности поляризации и
намаг-
§ 3.3. Выражения для объемных электромагнитных слагаемых 179
ничивания, полученные таким образом, действительно являются теми
величинами, которые входят в макроскопические уравнения Максвелла, хотя
здесь используется более простая процедура пространственного осреднения,
а не более формальная процедура осреднения по фазовому пространству.
В. Пондеромоторные сила и момент силы
Пондеромоторные силы и моменты - это такие силы и моменты, которые
действуют на единицу объема вещества, рассматриваемого как континуум, в
присутствии электромагнитных полей из-за того, что вещество электрически
заряжено, электро-проводно, поляризовано и намагничено. Существует
несколько способов определения выражений для этих кинетических величин.
Здесь выражения для пондеромоторной силы fem и соответствующего момента с
- обе величины рассчитаны на единицу объема в текущей конфигурации JUt -
выводятся как результирующие множества сил Sf", действующих на заряды в
точках га = r -f %а (см. рис. 3.2.1(b)), и результирующего момента
относительно начала координат О. Мы, таким образом, следуем Лоренцу
[Lorentz, 1952] и работе [Dixon, Eringen, 1965], но дополнительно
учитываем эффекты электропроводности в. Поле
скоростей va = ck^/dt представляется в виде va = v + + vai
где v - флуктуационная скорость (ср- с (3.2.47)). Оценки для
порядков величин, приведенные в п. 3.2.В, справедливы и здесь. Согласно
электронной теории Лоренца, сила, действующая на точечный заряд бца,
имеет вид
6fa = 6qa [е (ra) +jvaXb (ra)], (3.3.1)
1; Аналогичный метод применен в работе [Masson, Weaver, 1929] для
электростатического случая. Лаке и Нельсон [Lax, Nelson, 1971] повторили
анализ Диксона и Эрингена [Dixon, Eringen, 1965]-см. также работу
[Maugin, Eringen, 1977]. Заметим, что в соответствии с принятой здесь
точкой зрения Лоренца только электрический заряд рассматривается как
фундаментальный кирпичик вещества с электрическими и магнитными
свойствами. Это больше соответствует точке зрения, принятой физиками-
теоретиками, чем подходу, предпочитаемому инженерами-электротехниками,
которые прибегают к понятиям магнитных монополей и бесконечно малых
амперовских витков с током; такой подход развивается в работах [Penfield,
Haus, 1967; Pao, 1978; Fan о ei al., 1960; Grot, 1976]. Метод,
применяемый здесь, контрастирует с выбором априори в стиле Минковского
[Brevik, 1970], которому с нашей точки зрения не хватает связи с
микрокосмом; такой выбор основывается на релятивистских преобразованиях,
принятых другими авторами (например, [Boulanger, Маупё, 1971; 1974]).
Детальное обсуждение можно найти в работе Maugin, 1980b].
12'
180 Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
где е и b-микроскопические электромагнитные поля, вычисленные в точке г".
Результирующие fem и с имеют вид
fmAV = ? 6<7ае (г-ЬГ) + ^;>>а[У + |а + va] X Ь (г + Г),
а а
(3.3.2)
с АР = Yj 6<7а [г + ?"] X е (г + |а) +
а
+ т Z б<7" lr + 6°1 X { [v + ia + va] X b (г + Г)}. (3.3.3)
а
Макроскопические полевые величины определим следующим образом (ср. с
выражениями (3.2.43), (3.2.51) - (3.2.53) и
(3.2.49)):
Е (г) = е (г), В (г) = b (г), (3.3.4)
а а
оду- ?i-a?aga(r)!",
(3.3.5)
тДУ = ^^5<7аГх|а,
а
/ду=Е^ауа,
а
р = р - div Q, = т, + -f W/, pQkp. (3.3.6)
Считая электромагнитные поля е и b достаточно гладкими функциями в объеме
ДУ, раскладывая их в ряд Тейлора в окрестности точки г и удерживая члены
только до порядка е2, при помощи утомительных вычислений находим
выражения для fem и с. В этих вычислениях учитывалось, что
d (6qa)/dt = 0 и d (AV)jdt = (V • v) ЛУ.
Кроме того, взяв материальную производную от обеих частей уравнений
(3.3.5) 2,з, получим
[? + Р(У-у)]ДУ=5><7а|а,
