Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
магнитный диполь (стрелка компаса), находящийся в магнитном поле (между
полюсами магнита или в магнитном поле Земли), действует момент сил, пока
диполь не приобретает определенную ориентацию. Наконец, открытия в
молекулярной физике и квантовой механике в XX столетии показывают, что
некоторым материальным телам можно приписать плотность спина (внутренний
момент импульса), который проявляется в макроскопически наблюдаемых
эффектах. Поэтому естественно рассмотреть следующие общие уравнения,
описывающие среды в электромагнитных полях, которые заменяют
уравнения (2.4.20), (2.4.21), (2.4.24), (2.4.26) и (2.8.10):
Здесь fem называется пондеромоторной или электромагнитной силой в расчете
на единицу объема, t/// - электромагнитное поверхностное натяжение,
антисимметричный тензор С/;ш - пондеромоторный или электромагнитный
момент сил в расчете на единицу объема, wem - приток энергии
электромагнитной природы и S?/1, trikii и mf// - тензор внутреннего
спина, тензор моментных напряжений и плотность поверхностных пар
соответственно, все электромагнитной природы.
Задача настоящей главы - получить по возможности наиболее рационально и
строго все нелинейные полевые и термодинамические уравнения, в том числе
определяющие уравнения для обширных классов материалов; эти уравнения
будут положены в основу исследований твердых деформируемых сред
Р ii = tn,i + [}T\ гаЛ" = *(п) I "I" \}щ) i]>
p[s/;m]==fe] + [cr]+%b
П. [mern] = jmem ]f
(3.1.4)
(3.1.5)
(3.1.6)
(3.1.7)
а также
рё = tr (tD7) - V • q + ph + [ayem].
(3.1.8)
§ 3.2. Электромагнитные величины деформируемого тела 159
с электрическими и магнитными свойствами. Поставленная задача по существу
решается установлением формы уравнений Максвелла (3.1.1) в движущейся
системе отсчета и определением явного вида электромагнитных слагаемых,
заключенных в квадратные скобки в уравнениях (3.1.4) - (3.1.8), из
некоторых физических соображений и математического моделирования на
микроскопическом уровне.
Имея в виду технические приложения, в этой главе мы будем рассматривать
только кинематические процессы со скоростями, много меньшими скорости
света. Поэтому мы не будем обсуждать релятивистскую формулировку
уравнений: для рассмотрения любых движений среды нам будет совершенно
достаточно так называемого приближения Галилея. Кроме того, здесь не
будут вводиться такие величины, как Slf, mXij и тщп)', они потребуются
для более сложного континуального моделирования в гл. 6 и 7 раздельно для
магнитных и электрических эффектов.
§ 3.2. Электромагнитные величины деформируемого тела в приближении
Галилея
А. Уравнения Максвелла при наличии точечных источников
Известные уравнения Максвелла, описывающие электромагнитные поля в
вакууме, т. е. вне источников, имеют вид
Здесь скалярная величина с имеет размерность скорости, а е и b по
причинам, которые станут ясны далее, называются микроскопическими
напряженностью электрического поля и магнитной индукцией соответственно.
Согласно второму и третьему уравнениям (3.2.1), можно ввести
электрический скалярный потенциал <р и магнитный векторный потенциал А по
формулам
Известный произвол в выборе <р и А по формулам (3.2.2) можно уменьшить,
если предположить, что ф и А удовлетворяют так называемому калибровочному
условию Лоренца
у.е = 0, ТХ" + 44г" 0.
у ь-о, vxb-njf-o.
(3.2,1)
" ч .. * 1 (ЗА
b = V X А, е = - Уф - - -gj-.
(3.2.2)
V-А + -= 0.
* с at
(3.2.3)
160
Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
Подставляя выражения (3.2.2) в уравнения (3.2.1) и учитывая соотношение
(3.2.3), получаем волновые уравнения (записанные в прямоугольной системе
координат)
? <р = 0, ? А = 0, (3.2.4)
где волновой оператор ? - оператор Д'Аламбера:
? = V2 - с~2 ~j2~ • (3.2.5)
Уравнения (3.2.4) показывают, что электромагнитные волны распространяются
в вакууме со скоростью с. Следовательно, с есть не что иное, как скорость
света в вакууме, так как свет - это частная форма электромагнитного
излучения. Установлено, что с = (2.997925 ± 0.00006) • 108 м/с.
Наличие связи между уравнениями Максвелла и веществом устанавливается
экспериментально подмеченными фактами, что неподвижные или движущиеся
внутри некоторого объема электрические заряды определяют величину потока
электрического поля через границу этого объема (закон Гаусса), а
движущиеся электрические заряды создают ток, поток которого сквозь
некоторую ограниченную поверхность определяет циркуляцию магнитной
индукции по границе этой поверхности (закон Ампера). Если в физическом
пространстве точечные частицы, пронумерованные индексом а, а ==1,2, ...,
с электрическими зарядами бqa (целыми кратными от элементарного кванта
электрического заряда, заряда электрона е= 1.60-10~19 Кл), расположены в
точках г" физического пространства и движутся со скоростями v", а= 1,2,
..., по отношению к некоторой неподвижной инерциальной системе отсчета
Галилея (лабораторной системе отсчета), то, согласно законам Гаусса и
