Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
преобразований получим уравнения в обычном виде
тхн-f-f- j-l V.D=", (3.2.42)
если наряду с определениями (3.1.2) ввести определения макроскопических
полевых величин qf, Р, М и J в Ra по формулам
(3.2.43)
<7f:
qkab(rk - r)y
(га-1) -
:(X<7ta(c)( rfe-r)), (3.2.44)
§ 3.2. Электромагнитные величины деформируемого тела 169
ОО
M = Z (-1)""'vw_":
п = 1
: {"("+1)1 1) (r) +
+ У (? "'"С- " (r) (6*" X т V*) "(г* - r)U. (3.2.45)
J = ^ X qkavkb (rfe - r)^; (3.2.46)
•
здесь vfc=rfe, символ (r) означает тензорное произведение, А(") -
обозначение п-й тензорной степени векторного поля А, т. е. (А (r) А (r) A...(r)
A) j/*... = А,-А/А*..., знак ":" указывает на полную свертку двух
тензоров одного порядка. Предположим, следуя работе [Mazur, Nijboer,
1953], что можно представить в виде суммы средней скорости v относительно
RG и флук-туационной скорости vk системы носителей заряда k\
vfe = v + vfe. (3.2.47)
Несложно показать, что [Maugin, 1979]
Л (г, /) = М(г, /) + 7уХР (г, t) =
°° 1
n = 1 v \k, a
(r) [lka X (ОЛка + D • ^a)] в (rfe - r)) +
+ Q] (^-) (r) (ifea x V*) 6 (r*-r))J, (3.2.48)
а также что
/(г, /) = J (г, 0 - ?fv = (Z qkavk6 (rfe - г)^; (3.2.49)
здесь мы положили (см. определение (2.3.41))
D/gfte = |м _ Q х |fea, (3.2.50)
а D - тензор скоростей деформации, введенный формулой
(2.3.4).
Уравнения (3.2.41) и (3.2.42) идентичны макроскопическим уравнениям
(3.1.1). Уравнения (3.2.43), (3.2.44), (3.2.48) и
170
Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
(3.2.49) дают статистические определения макроскопических
электромагнитных полевых величин вещества. Определения (3.2.44) и
(3.2.48) или (3.2.45) содержат электрические и магнитные мультипольные
моменты всех порядков. Обычный электрический дипольный и квадрупольный
моменты в расчете на единицу объема, а также плотность магнитного
дипольного момента определяются по формулам
Р (г, t) = ( Yj qka\kab (xk - r)\,
\k, a /
Q (r '¦l)=т (T №ka (r) ^ (r'' -r)) = Qr>
m (r, t) = qkalka X tka6 (rk - r) ^ .
Здесь Q - симметричный тензор второго порядка. Уравнения
(3.2.43) и (3.2.48) во втором порядке по электрическим мульти-польным
моментам и в первом порядке по магнитным мульти-польным моментам сводятся
к уравнениям
Р = Р -divQ, (3.2.54)
Жi = nii -| - еijkPi, р QkP ==
+ ^-eipftDpmQ*m; (3.2.55)
\k, a / i
здесь учитывалось соотношение (3.2.50) и каноническое разложение (2.3.4).
На этом закончим обсуждение вывода макроскопических уравнений Максвелла в
материальном континууме из микроскопических уравнений.
(ill) Порядки величин
Проведенный вывод показывает производный характер полевых величин D и Н.
Для макроскопических полевых величин -> ">•
qf, /, Ри I найдены выражения через микроскопические величины. Однако в
электродинамике сплошных сред сформу лированные выше макроскопические
уравнения обычно принимают в их конечной форме и после этого уже не имеют
дела с их выводом из микроскопических уравнений. Величина qf аналогично
плотности массы может рассматриваться как пер-
вичное понятие, а величины f, Р и Ж описываются при помощи определяющих
уравнений.
(3.2.51)
(3.2.52)
(3.2.53)
§ 3.2. Электромагнитные величины деформируемого тела
171
Для дальнейшего использования сделаем некоторые оценки порядков величин.
Положим О (|?fcaj) = L = гЬ*; если Т* - макроскопический масштаб времени,
то 0(\%ka\) = L/T* - = г(Ь*/Т*). Типичный микроскопический масштаб
времени
Т** = Т*/г. Флуктуационная скорость v приводит к довольно медленному
случайному процессу, не слишком далекому от состояния равновесия. Поэтому
О (| vfe |) = е2 (L*/T*). Заметим также, что из (3.2.51) следует 0(\Р\) =
гЬ* и
О (| Q I) = е2Г2, О (| ш |) = (L/Г) (L/C) = г^/сГ = О (| Ж |),
(3.2.56)
0(|Q|) = e2r7r = c0(|i|), О (|/ ]) = е2(L*/T*),
*
где тензор Q имеет компоненты (см. определение (2.3.49))
Qij = Qi! ~ vl, kQki vl, kQki + QiiVk, k-
Если положить
= Qij + csijk^k' (3.2.57)
то легко показать, что
mti + 2Qlkvl it = (ZAr^(rJ-r)). (3.2.58)
*
Это уравнение показывает, что Q и сЖ имеют один порядок величины; это
оправдывает введение общего тензора второго порядка формулой (3.2.57).
Однако возникает вопрос, когда можно пренебречь электрическими
квадрупольными моментами.
Величина Р имеет порядок е, а величины Q, сЖ и / - порядок е2. Нужно
сравнить два слагаемых в (3.2.54) по порядку величины. Очевидно, что если
характерная макроскопическая длина имеет порядок L, как это может быть,
например, при распространении гармонических возмущений с длиной волны X
порядка L, то оба слагаемых, согласно приведенному выше обсуждению, могут
иметь один порядок.
В большинстве же случаев, которые будут представлять для нас интерес в
этой книге, л достаточно велико, т. е. X~L* L, так что 0(|div Q|) = еО(|
Р|). Это условие необходимо, чтобы электрическими квадрупольными
моментами можно было пренебречь, но недостаточно из-за сравнимого порядка
величин обоих слагаемых в левой части уравнения (3.2.57). Чтобы можно
было полностью отбросить электрические квадруполь-
