Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
До сих пор мы не искали оправдания пригодности уравнений Максвелла
(3.1.1) для сплошной среды. Сейчас .же мы установим соответствие
уравнений (3.1.1) "микроскопическим"
166
Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
уравнениям (3.2.1), (3.2.6) и (3.2.7). Тем самым будут даны определения
на языке микроскопических понятий новых полевых
величин Р, 1 и /, появление которых связано с присутствием вещества.
(i) Процедура осреднения
Чтобы получить интересующее нас описание макроскопического состояния
вещества, мы должны из микроскопических уравнений вывести уравнения,
которые содержат физические величины, меняющиеся в пространстве и времени
намного медленнее, чем микроскопические поля е и Ь. Таким образом, мы
должны сгладить решения уравнений для точечных зарядов при помощи
некоторой процедуры осреднения. Макроскопические величины следует
определить как статистические средние по большому ансамблю систем частиц,
содержащихся в микроэлементе объема AV. Полученные таким образом
макроскопические величины могут рассматриваться как достаточно гладкие
функции пространственных координат и времени, за исключением, быть может,
некоторых сингулярных поверхностей и линий, как это имеет место и в
других разделах физики сплошных сред. Принятую процедуру осреднения можно
обрисовать следующим образом [Mazur, Nijboer, 1953]. Статистическое
осреднение символически записывается в виде
А = (а). (3.2.34)
Здесь величина а может быть любой величиной в системе частиц, например е
или Ь. Статистическое среднее обычно выражают при помощи функции
распределения. Вещество микроскопически представляется в виде
совокупности "устойчивых" систем, пронумерованных при помощи k=\, 2, ...,
m, из точечных частиц (пронумерованных при помощи а-1, 2, ..., п внутри
системы k) с электрическим зарядом qka и радиус-вектором rka относительно
неподвижной галилеевской системы отсчета Ra. Пусть г - точка, в которой
вычисляются микроскопические поля е и b системы частиц; 6 (г) -
трехмерная обобщенная функция Дирака. Все поля, рассматриваемые в этом
пункте, зависят только от положений rka и канонически сопряженных
импульсов pfea частиц а = 1, 2, ..., п (k фиксировано).
Следовательно, средние величины можно ввести как результат осреднения по
фазовому пространству: (a) = ^afdj>, где
ф
функция распределения /, которую можно нормировать так, что
\ fdj> = \, зависит только от rka, pfea и /; d<j> = П d3rkd3pk -
J k, а
Ф
§ 3-2. Электромагнитные величины деформируемого тела 167
элемент объема в (бппг) -мерном фазовом пространстве ф. Вероятность того,
что система находится в элементе фазового пространства йф, равна 1йф. Эта
вероятностная величина остается постоянной во времени при движении точек
фазового пространства по их траекториям (теорема Лиувилля).
В соответствии с этим имеем фундаментальную лемму.
Лемма 1. Правило перестановки операции дифференцирования по времени имеет
вид
~дГ ^ = ( 2Dt ' (3.2.35)
где ?Df3)t - полная производная по времени в смысле статистической
механики в ф.
Кроме того, имеем вторую лемму.
Лемма 2. Операции дифференцирования по координатам и осреднения
перестановочны, т. е.
V (а) = (Va). (3.2.36)
Доказательство леммы 2. Дифференцирование по координатам, обозначенное
символом V, производится по отношению к пространственному радиус-вектору
г. Величина f йф не зависит от г, что и требовалось доказать.
Пусть rk - некоторая привилегированная точка системы k
(например, ее центр массы). Внутренние координаты частицы
с зарядом qka определяются по формуле (рис. 3.2.1(a))
lka = rka - rk\ (3.2.37)
предполагается, что |§fea|<C|rfe- г|. Используя правило дифференцирования
сложной функции и оперируя формально с дельта-функцией, получим следующие
полезные формулы:
-^6(rfe-r) = ~V6(rfe-r), г*- v)6(r*-r) = 0. (3.2.38)
Теперь мы в состоянии применить процедуру осреднения
к уравнениям Максвелла, связывающим значения полей в
точке г (ср. с (3.2.6) и (3.2.7)):
VXe + -1?- = 0, V-b = 0,
с dt
?Хь~т4г = тЕ цЫ'хка6(г"а ~г)' (3-2-39)
к, а
V • е = Yj ЯкаЬ (rfea - г)-
k, а
168
Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
(ii) Макроскопические уравнения Максвелла
Полагая
Е - (е), В = (Ь) (3.2.40)
и принимая во внимание уравнения (3.2.35) и (3.2.36), обнаруживаем, что
первые два уравнения (3.2.39) элементарно приводят к равенствам
vxe + 4^ = 0,
V • в = о.
(3.2.41)
Эти уравнения справедливы для любой области физического пространства Е3,
есть ли в ней вещество или нет. Теперь применим процедуру осреднения к
последним двум уравнениям "кос
V
к = 1, 2,..} тп
(а)
(Ь)
Рис. 3.2.1. Внутренние координаты; (а) осреднение по фазовому
пространству; (Ь) осреднение по объему.
(3.2.39). Разлагая формально дельта-функции в ряд в окрестности точки гк
- г, когда |^"|<C|rfe - г|, и учитывая формулы (3.2.38), применим
операцию осреднения к обеим частям полученного уравнения; учитывая далее
определения (3.2.40) и проведя интегрирование по частям, после некоторых
