Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Zzoldos L, Dislocations and Plastic Deformation. - Budapest: Pergamon,
Oxford and Akade-mia Kiada, 1973,'p. 301.)
§ 2.14. Понятие о поверхностных акустических волнах 145
ными граничными условиями. Устойчивость во времени таких явлений
гарантируется не для всех случаев.
8. Волны Рэлея в линейной теории изотропных упругих сред
Лучший имеющийся пример поверхностных волн - это волны Рэлея (открытые
лордом Рэлеем (Дж. Страттом) в 1885 г.), которые представляют собой
гармонические по времени волны смешанного продольно-поперечного типа без
дисперсии, распространяющиеся на плоской свободной поверхности
изотропного линейно упругого материала, занимающего полупространство,
причем скорость распространения поверхностных волн (cR) меньше скорости
распространения сдвиговых упругих волн в объеме (сг). Амплитуда волны,
поляризованной в сагиттальной плоскости (т. е. плоскости, проходящей
через вещественный волновой вектор' и единичную нормаль к плоской
поверхности), экспоненциально затухает при отходе от поверхности с
глубиной проникновения порядка нескольких длин волн (рис. 2.14.1). Эту
простую задачу можно решить следующим образом.
Рассмотрим уравнение (2.11.20) и соответствующие граничные условия при
отсутствии массовых сил и напряжения на поверхности для материала с
тензорным коэффициентом упругости, определяемым соотношениями (2.12.5) и
(2.12.4). Обозначения см. на рис. 2.14.2. Для движений, которые зависят
только от координат х\, х2 и времени, полевое уравнение и граничное
условие для (поперечной) компоненты перемещения и3 = иг отщепляется от
уравнений для двух других компонент щ и и2. Плоскость (х\,х2) называется
сагиттальной плоскостью /V, здесь х\ - направление распространения волны
и, следовательно, ненулевое упругое перемещение поляризовано параллельно
Ps. Мы должны решить следующую краевую задачу:
u-(c|-4)V(V- u)-4V2u==° при х2 > 0, (2.14.1)
Лг+И"° "р" *=<>• <2-14-2>
{^-^т)^Г+Л^ = 0
Рис. 2.14.1. Волны Рэлея в изотропных линейно упругих однородных телах.
10 Ж- Можен
146
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
где
7 = (т?г'1й7-0)' ',2 = v-v-
Будем искать решения в виде распространяющейся волны:
"а = "аехр[/(со/ - kxxx - ?2*2)]. а=1, 2, х2>0, (2.14.3)
с условием
1ш (k2) < 0, (2.14.4)
так что амплитуда волны действительно экспоненциально затухает с
глубиной.
Подставляя пробное решение (2.14.3) в уравнения (2.14.1)* получаем
систему линейных уравнений для ыа, а = 1, 2, кото-
Рис. 2.14.2. Первая мода волн Лява (поверхность раздела двух линейно
упругих тел является жестким контактом; верхний слой медленный).
рая допускает существование нетривиальных решений тогда и только тогда,
когда
3(r) (со2, К = Щ + Щ) = (со2 - С\К) (со2 -с\К) = 0; (2.14.5) корни этого
уравнения равны
*1=4^4. Кп = 4-^Ь1- (2.14.6)
СТ CL
Положим
*/ = *? + *&(/). И- (2-14-7)
Условие (2.14.4) для двух корней (2.14.6) эквивалентно условиям
*l(I) = fe2r-fe?<0, k*(ll) = k l-h*<0. (2.14.8)
§ 2.14. Понятие о поверхностных акустических волнах 147
Так как a)/kx = c есть выражение для скорости волны cR, то условия
(2.14.8) означают, что если выполнено условие (2.14.4), то cR меньше
наименьшей из двух скоростей распространения упругой волны в объеме, т.
е.
cR<cT<cL. (2.14.9)
Уравнение (2.14.3) выполняется для каждого решения / = 1,11; общее
решение задачи, которое должно удовлетворять граничным условиям (2.14.2),
в силу линейности уравнений является линейной комбинацией полученных
решений: и
иа = 2 ы?ехр(- /6^2) exp [г (оУ ~ - (2.14.10)
Этот результат можно записать в более явном виде:
Щ = \ -i- к - со2)1/2 их + icT (4±VT tfsl \_cTkx \mL~m ) J
u2 = (UxU2)@~, 5F - exp[t (at - kxxx)\, (2.4.11)
f/1~^exp(--ifejX2), t/2 = M'Iexp(- iknx2),
где
? = (cjcrf = . (2.14.12)
Подставив результаты (2.4.11) в граничные условия (2.14.2), получим
линейную однородную систему уравнений для Ux и U2, которая имеет
нетривиальные решения тогда и только тогда, когда выполняется следующее
уравнение:
4(1-?)1/2(l --|-)1/2 = (2-?)2, (2.14.13)
где
= l = (cR/cTf< 1. (2.14.14)
Уравнение (2.14.13) имеет очевидное решение ? = 0, так что оно приводится
к следующему кубическому уравнению относительно I2:
?6-8?4+ 8?*(3 16 (l (2Л4.15)
Это уравнение является знаменитым уравнением Рэлея, решение которого
зависит только от коэффициента Пуассона v (см. уравнение (2.14.12));
допускаются только положительные решения, меньшие единицы (из-за
ограничения (2.14.9)). Показано [Achenbach, 1975], что при 0 < v < 1/2
уравнение
(2.14.15) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 < ?(v)<
1. При изменении v от нуля до 1/2 это решение меняется монотонно от 0.874
до 0.955. Глубина проникновения
Ю*
148
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
волны имеет порядок |&i|_I или \kn \~1, а значит, согласна
(2.14.8), тот же порядок, что и длина упругой волны Кт, ь = = 2n/kr,L в
объеме тела, сдвиговой или расширения.
С. Поверхностные SH-волны
Упругое перемещение в рассмотренных выше поверхностных волнах
