Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
деформацией, называется техникой наложения малых движений на большие
статические поля. При выводе таких уравнений нужно особое внимание, чтобы
правильно удержать все надлежащие слагаемые. Хотя имеются и другие
методы, мы будем близко следовать методике, использовавшейся Тупином в
1963 г. и принятой другими авторами0. Для простоты мы здесь рассмотрим
случай чистой упругости - уравнения
(2.11.1) - (2.11.9); всеми тепловыми эффектами пренебрегается.
Схема методики. Уравнения (2.11.1) - (2.11.9) описывают переход от
конфигурации Жц к конфигурации J?t для конечного зависящего от времени
процесса деформации. Рассмотрим не зависящее от времени решение
50 = {0x = 0i(X)} (2.15.1)
нелинейных уравнений, описывающих данный гиперупругий материал; это
решение переводит Ж * в начальную конфигурацию Жи которая теперь не
совпадает с отсчетной конфигурацией Жя, в идеале без напряжений. Все
величины, относящиеся к Ж{, будут помечаться слева нижним индексом нуль.
Таким образом, (0F)(fc = oXL к,
Ро = оР(/> (2.15.2)
о1 - оР 0F о('^е') орг> (2-15.3)
где 0(5ф/<ЗЕ) означает, что производная берется при Е = 0Е,
причем 0EKL = (oXi,K oXi, ь - 8KL)/2. Величина $в зависит от X и только
от X, за исключением случая, когда решение So пространственно однородно;
в этом случае все поля, определенные из такого решения, постоянны
внутри тела. Пусть поле массовой силы f статическое. Вместо
эйлеровой формы локального
балансного уравнения для импульса (2.11.1) удобнее использовать его
лагранжеву форму (2.7.3). Решение SQ создается распределением статической
массовой силы f. Рассмотрим теперь другое решение:
S, = {? = ?{Х, /)}, (2.15.4)
которое зависит от времени и слабо отличается по величине от решения So.
Иными словами, St есть .возмущение стационарного конечного решения So-
Диаграмма на рис. 2.15.1 показывает соотношение между рассматриваемыми
решениями в конфигурационном пространстве. Преобразование St переводит Жц
в ^ через Жй состояние Jtt находится в окрестности Л>{Ж\\
См., в частности, [Suhubi, 1975].
152 Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
состояния Ж г, это означает, что мы можем записать
х (X, 0 = 0х (X) + 6*х (X, ty, (2.15.5)
величина |6*х| -бесконечно малая первого порядка. Символ 8Х означает
лагранжеву вариацию тензорных полей, определенных на множестве пар (X,
t). Операция 6* обладает очень полезным
Рис. 2.15.1. Малые движения, наложенные на большие статические поля.
свойством: она перестановочна с частным дифференцированием ло времени и
операцией VR. Например,
MV(X, 0] = Ы6*/(Х, 0]. (2.15.6)
Определим малое перемещение и, соответствующее переходу Жi -*¦ Жt,
соотношением
и = бхх (X, /); (2.15.7)
из определений / и Е непосредственно имеем
5x/ = -^-(V-u) = 0/(V.U), бх/-1 = - QI~1 (V • и), (2.15.8)
&Xxi,K - Ui,K> (2.15.9)
^Х^АВ = Х!$тп (охт, Аип, В + 0хп, Вит, лХ (2.15.10)
Применив операцию варьирования 8Х к уравнению (2.7.3), получим полевое
уравнение для изменения и:
Робх (4?')|х==б*07* • т). отсюда p0ii = V* • (6/Г) (2.15.11)
в силу тождества (2.15.6). Перепишем это уравнение с учетом
(2.7.1), (2.11.9), (2.15.9), (2.15.10) и правила дифференцирования
сложной функции; умножив полученное уравнение на о/-1
§ 2.15. Малые движения, наложенные на большие статические поля 153
и учитывая (2.15.2) и (2.15.3), получаем уравнение
Op ill = [(о Cjipq -f- 0 hq^ip) Чр, <?], / == hi, /> (2.15.12}
где
- оператор Гука; его конкретное выражение определяется как свойствами
симметрии материала в отсчетной конфигураций Жr, так и начальным решением
S0.
По поводу уравнений (2.15.12), (2.15.13) можно сделать следующие три
замечания. Во-первых, даже если материал в. конфигурации Жр идеально
изотропен, то начальное решение все равно наводит анизотропию; поэтому
общая задача об определении волнового решения (2.15.4) формулируется как
задача для анизотропного материала. Другое замечание касается начального
напряжения 0t, фигурирующего в уравнении (2.15.12);. это уравнение при
записи в форме
содержит оператор С/ш, который не является оператором Гука (он
удовлетворяет не всем условиям тензорной симметрии такого оператора), так
как действует не только на симметричную* часть градиента перемещения, но
также и на его антисимметричную часть. Однако если напряжение в начальном
состоянии однородно, то слагаемое tji, / в уравнении (2.15.12) или
(2.15.14) можно выразить через симметричный поправочный тензор напряжений
tji. Действительно, из определения
tjl== 0Cjipqllpt q "Ь 4lpui, р "Ь 4i(Mip 4 ii^m, m~hj (2.15.15} следует,
что если 0tiPi q = 0, то
Восстановим для изотропного гиперупругого материала с начальным
состоянием без деформаций из уравнения (2.15.12) уравнение Навье. Для
изотропного материала скалярная функция ф = ф(Е) должна быть изотропной
функцией тензора Е. Следовательно, ф зависит от Е только через его
инварианты /a = trEa, a =1,2,3. Для решения So имеем 0F = I, оЕ = О и ot
= 0. В результате мы получаем уравнение Навье, но со следующими модулями
