Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
(изотерм., (1.175) 1.645) 1.240 0.937 1.068 0.607 0.754 0.461 0.282
9.018 10.635 2.733 -2.21 -2.05 -0.22
Полупровод- ники Г Ge (германий) 1 Si (кремний) 1.289 1.656 0.483 0.639
0.671 0.795 5.320 2.329 -0.665 -0.563
Диэлектрики ( алмаз 1 КС1 10.2 0.403 2.5 0.066 4.92 0.063 3.5 .2.038
-0.278 0.73
Ферромагне- тики С № (никель) < Иттрий-желез-V. ный гранат 2.508 2.690
1.500 1.077 1.235 0.764 8.968 5.17 - 1.42 0.064
уравнение (2.11.38) дает 2 = (cu + 2ci2)@2/6. Объемный модуль В
определяется соотношением 2 = В02/2, так что в рассматриваемом случае В
=(сц + 2си)/3. Как и в случае (2), рассмотренном выше, здесь также можно
ввести постоянные упругости материалов с кубической структурой для
адиабатических процессов. Так как для материалов с кубической симметрией
мы также имеем Мц = тбгу, то получаем соотношение, аналогичное (2.11.31),
в котором тензор Сцы имеет такую же структуру, как и тензор (2.11.36), но
с другими постоянными
1 = 1, Си = Си + (%m2{p0^), Ci2 = с12 + (%tn2/ро&) и с44 = с44. Значения
этих адиабатических постоянных приведены в табл. 2.11.1 для ряда
материалов, кристаллизирующихся в кубической системе; в такой системе
кристаллизуются типичные металлы, полупроводники, диэлектрики, активные
диэлектрики и ферромагнетики.
Энергия деформации (2.11.37), согласно второму закону термодинамики,
должна быть неотрицательной функцией-
§ 2.11. Линейная теория термоупругости 137
Можно показать, что это условие выполняется тогда и только тогда, когда
материальные постоянные сц, с\ч, с44 удовлетворяют неравенствам
Сц> о, си> о, (Сц -с12)(сп + с12)>0, си + 2с,2>0
(2.11.39)
(в случае изотропности имеем 7, ^ 0, 37, + 2р = ЗВ 0). Это есть условие
устойчивости кубической структуры. Отмеченная выше структурная
неустойчивость появляется, когда третье неравенство (2.11.39) переходит в
равенство.
Внутренние деформации. Термоупругие деформации, существующие, согласно
(2.11.28), при ty = 0, являются примером так называемых внутренних
деформаций [Indenbom, 1965; Maugin, 1979а]. Во многих теориях тензор
напряжений t записывается более общим образом, чем (2.11.25):
t = te + tc(-) = 4|, t(r) = С [е]. (2.11.40)
Здесь слагаемое te представляет классический тензор упругости, линейно
зависящий от е, a tc(-) - дополнительное слагаемое, возникающее из-за
таких взаимодействий, как термоупругость (а в дальнейшем, магнитострикция
и т. п.); энергия деформации 2, как правило, квадратичная функция от е.
Поэтому
2(е, •) = 1/2С[е, e] + tr[f(-)e]. (2.11.41)
Точка указывает на наличие других независимых переменных, таких, как
отклонение температуры 0 - 0о. Пусть S - оператор Гука, обратный С. Это
означает, что компоненты S удовлетворяют следующему уравнению,
записанному с использованием символов Кронекера:
SilklCklpq - Ч2 (blpbiq + бг,б/р). (2.11.42)
Обратим уравнение (2.11.40), применив к обеим его частям оператор S; в
результате получим
е = S [t - tc] = S [t(r)]. (2.11.43)
Внутренние деформации е° определяются соотношением
def
е° = е (t = 0). (2.11.44)
Поэтому, согласно уравнению (2.11.43),
e°(-) = -S[tc], t(r)(-) = -C[e°(.)]. (2.11.45)
138 Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
Подставляя второе выражение (2.11.40), (2.11.43) - (2.11.45) в уравнение
(2.11.41), находим
2(е, ¦) = '/г tr (tee) - tr [tee° (•)]. (2.11.46)
Полагая в последнем уравнении е = е°, получаем энергию внутренних
деформаций
2(е°(-), *) = - Vs tr [te (е - е° (•)) е° (• )]• (2.11.47)
Уравнения (2.11.44) - (2.11.47) составляют основу теории внутренних
деформаций, развиваемой для приложений независимо от физического смысла
переменной (•). В частности, в случае изотропной термоупругости
= 2(0) = iji, ё=в-ел. (2.11.48)
Другой типичный пример внутренних деформаций представляется деформациями,
возникшими благодаря магнитострикции в однородно намагниченных
ферромагнетиках (см. гл. 6). Теоретически это понятие может быть обобщено
и на нелинейно упругие материалы, если соотношение между упругими
напряжениями и деформациями обратимо.
§ 2.12. Распространение волн в бесконечных изотропных упругих средах
Рассмотрим распространение плоских волн в бесконечной изотропной упругой
среде, тензорный коэффициент упругости которой имеет вид (2.11.24)
(первое соотношение). Предполагается, что соответствующий термоупругий
процесс адиабатический. Для простоты отбросим источник p0f в уравнении
(2.11.20). Граничные условия здесь рассматривать нет необходимости. С
учетом (2.11.24) из уравнения (2.11.20) получаем хорошо известное
уравнение Навье
p0u = pV2u + (Я + ц) V (V • и). (2.12.1)
Взяв дивергенцию от обеих частей этого уравнения и определив расширение
(c)соотношением 0 = V-u, получим
0 = c2V2(c); (2.12.2)
применив же операцию ротор к уравнению (2.12.1), найдем
c" = 4V2(a; (2.12.3)
здесь мы ввели вектор вращения <a = (VXu)/2. Положительные величины с\ и
с\ определяются соотношениями
2 = Я + 2ц г2 _ Р /0 104)
§ 2.12. Распространение волн в бесконечных изотропных средах 139
